one of the most powerful developments in Mathematics came from the simple idea of the co-ordinate plane.  Indeed 2-dimensional co-ordinate geometry was crucial in the develop- ment of the calculus.

How do we generalise this to higher dimensions？

vectors are used in physics, engineering, weather maps etc to represent quantities which have both direction and mignitude.

In this chapter we will be looking in some detail as to what a vector is and how we can use vectors to extend our knowledge of geometry from 2 to 3 (and higher) dimensions.

Deinition： A vector is  a directed line segment which represents  a displacement from one point P to another point Q.

The word vectoT comes from the Latin veho (cf.  vehicle), meaning to  caTTg.

-喻

we represent a vector either using the notation PQ or by using v.  In the algebra notes (and in these notes), vectors are represented using bold letters, v.  You should represent vectors by underlining the letter, viz v.  This is important, because you will need to carefully distinguish between vectors, scalars (and later matrices).

S

v

P

Q

-一

PQ

A vector has both direction and length (or magnitude).  Two vectors are equal if they have the same direction and the same magnitude. Hence in the diagram v = w.

we will denote the length of the vector v by |v| .

Two vectors are parallel if they have the same direction.

position  vectors: we choose a ixed point o, in whatever dimensional space we hap- pen to be and call this the origin.   The position  vector of a point in  any number of dimensions will be represented by a vector from the origin to that point.

P

O

-喻

Hence the vector oP in the diagram is called the position vector of the point P. A position vector gives the position of a point in space, whereas a direction vector is simply a vector having direction and magnitude (length).

Addition of vectors: To geometrically add two vectors there are two diferent methods (each important).  If we think of a force vector, then, the obvious way to add two vectors is to put them tip to tail and join the tail of the irst to the tip of the second, as in the diagram.

w

v + w

w              v

To add the vectors v and w, we move w and then complete the triangle.  This method of addition is known as the triangle law of addition.

You can see from this that one could obtain the same vector by forming a parallelogram from the two vectors and taking the diagonal (often called the resultant) as the sum of the two vectors.

v + w

This method is known as the parallelogram law.

subtraction of vectors is performed in a similar way:

To check this makes sense, add the vectors that are tip to tail, v + (w - v) = w as expected. observe that the vector labelled w - v is not a position vector.

-喻

Thus if P and Q have position vectors v and w respectively, then PQ= w - v. In gen-

eral,

-喻            -喻                  -喻

PQ=OQ - OP .

w —   v

w

v

O

Example: suppose ABCDEF is a regular hexagon with the vector p on the side AB and vector q on the side BC. Express the vectors on the sides: CD, DE, EF, FA and the diag- onals AC, AD, AE in terms of p and q.

-喻                            -喻

Example: In a paralleogram ABCD , AB= a, AD=喻b, a M喻 is-t喻he intersection of the

diagonals. Express, in terms of a and b the vectors, MA,MB ,MC ,MD.

The Triangle Inequality：

Let us restrict ourselves, for the moment, to the plane.

since the sum of any two sides of a triangle must exceed the third side, we can write

|u + v| 三 |u| + |v|

for any vectors u and v.

v

Q: when do we have equality？

scalar Multiplication：

we can multiply a vector by a scalar λ (generally just a real number).

This has the geometric efect of stTetching the vector if λ  持  1,  stretching  and  reversing its direction if λ < -1.

commutative and Associative Laws：

The commutative law of vector addition states that a + b = b + a.

Geometrically this is obvious:

a + b = b + a

The associative law of vector addition states that a + (b + c)  =  (a + b) + c.  Again the following geometric proof (？) will su伍ce.

a

Ex: A body is acted on by two forces, 3 Newtons in direction NE, 4 Newtons in direction W. Find the resultant force and direction.

Geometric proofs:

Ex:  prove (using vectors) that the line joining the midpoint of two sides of a triangle is parallel to the third side and half its length.

Co-ordinates:

Thus far’ much of what we have done works in any number of dimensions.  we are now going to deine n dimensional space and introduce a co-ordinate system in which to place our vectors.

The point in R2  with coordinates say (2）3) can be identiied with the position vector  (  3(2) )

obtained by moving 2 units to the right along the ①-axis and 3 units up the g-axis.  This can be extended to any number of dimensions.

'（ a2(a1)   )'

we take an n-tuple ' . ' of real numbers and think of each ai  as lying on an axis ①i. In

( an  )

2 and 3 dimensions’ we identify these axes as the Xy and XyZ axes respectively’which

are mutually orthogonal.

The set of all such n-tuples will be called R” .

'（ a2(a1)   )'

-喻                                                             '              '

we say that the vector PQ in R” has co-ordinates ' . ' ,  if we  move  a1   units  along

'    .    '

'         '

( a.” )

the ①1  axis, a2  units along the ①2  axis, and so on, when moving from P to Q.

'（ a2(a1)   )'

Hence an n-tuple ' . ' in  R” can be interpreted as the position vector of a point P

'         '

( a.” )

in R” .

For example, in R3 , the point P in the diagram has position vector （ 3(2) ).

( 1 )

0 = （ 0(0) )

( 0 )

P （ 3(2) )

( 1 )

we can then deine the addition of two vectors (algebraically) in R” by

'（ a2(a1)   )'     '（ b2(b1)   )'     '（ a2(a1) b2(b1)   )'

' . ' + ' . ' = ' . '

'         '      '         '      '                 '

( a.” )     ( b )     ( a” b” )

and multiplication by a scalar λ to be

'（ a2(a1)   )'     '( λ(λ)a2(a1)   )'

λ ' . ' = ' . '

( a” )     ( λa” )

Multiplying a vector by a scalar λ merely stretches the vector (if λ 持 1 ) or shrinks it if 0 三 λ < 1. If λ is negative then the vector reverses direction. (Note: The algebraic deinition of addition agrees with the geometric deinition.)

Note that we can now prove such rules as the commutative law algebraically, viz:

'（ a2(a1)   )'       '（ b2(b1)   )'     '（ a2(a1) b2(b1)   )'     '（ b2(b1) a2(a1)   )'     '（ b2(b1)   )'     '（ a2(a1)   )'

a + b = ' . ' + ' . ' = ' . ' = ' . ' = ' . ' + ' . ' = b + a.

'         '      '         '      '                 '      '                 '      '         '      '         '

( a.” )     ( b )    ( a” b” )    ( b” a” )    ( b )     ( a.” )

parallel vectors.

Two vectors are deined to be parallel if one is a non-zero multiple of the other.   That is, v is parallel to w if v = λw for some scalar λ 0.

For example, （ 2(1) ) （ -4(2) )

-喻

Ex: Find the vectors PQ, and

if P = （ 71 ) and Q = （ 1(2)  ).

(  3  )                ( -3 )

Ex: suppose that A =（ 0(0) ) B =（ 4(1) ) , C =（ 5(3) ) , D =（ 1(2) ) are the position vectors

for four points A,B, C, D. prove that the quadrilateral ABCD is a parallelogram.

Ex： ABCD is a parallelogram with vertices A,B, C, D which have the following position

vectors: A =（ 2(1) ) , B =（ 4(3) ) , C =（ 6(2) ).  Find the three possible position vectors of

D.

Basis vectors:

The standard  basis  vectors in R2   are the vectors  ( 0(1) )  and  ( 1(0) )  which  are  often

denoted by i and j.  observe that every vector in R2  can be written in terms of these basis vectors. For example  ( 12 ) can be written as i - 2j.

In 3-dimensions, the basis vectors, i）j）k are （ 0(1) ) （ 1(0) ) （ 0(0) )

( 0 ) ）( 0 ) ）( 1 ).

Note that every vector in R3  can be expressed in terms of these basis vectors, viz: （ a2(a1) )

( a3  )

can be expressed as a1 i + a2j + a3 k.

In higher dimensions, we label the basis vectors as e1）e2 ,... and so on.

Thus, in R4 , we have

（ 0(1) ) （ 1(0) ) （ 0(0) ) （ 0(0) )

e1 = ' 0 ' ）e2 = ' 0 ' ）e3 = ' 1 ' ）e4 = ' 0 ' . ( 0 )           ( 0 )           ( 0 )           ( 1 )

once again, we can represent any vector in R” in terms of the standard basis vectors in R” .

Distances and Lengths:

Given a vector x =  ( b(a) ) in R2 , we can use pythagoras, Theorem to compute the length

of this vector as^a2 + b2 .  we use the notation  |x|  =^a2 + b2 .  In R3 , given a vector

x = （ b(a) ), we can see from the diagram that  |OP |  =^a2 + b2  and then in ΔOAP we

( c )

have |OA| = |x| =^a2 + b2 + c2 .

A

c

In higher dimensions, wecandeine the length of a vector by generalising this formula,i.e.

'（ a(a)2(1)   )'

Deinition: A vector x = ' .(.) ' in R” has length |x|  given by |x| =^a1(2) + a2(2) + . . . + a”(2) .

( a.” )

Ex: Find the lengths of a = （ 1 ) and b =  '（ 2(1) )'

(   2  )               (' 4(3) )'.

-喻

The distance between two points A and B in R” will bedeined as the length of the vector AB ,

'（ a2(a1)   )'                                               '（ b2(b1)   )'

in other words, if A has position vector a =  '           '  and B has position vector b =  '           '

( a.” )                                               ( b )

-喻

then the length of AB is

-喻

| AB | = |b — a| =^(b1 — a1 )2 + . . . + (b” — a” )2 .

Ex: Find the distance between  ( 2 ) and  ( 4 ) and between 1 ) and 361 ).

The ‘length function, | . |, (sometimes called a noTm) has the following properties:

1.  |a|  > 0.

2.  |a| = 0 if and only if a = 0.

3. |λa| = |λ||a|, for λ e R.

A vector which has unit length is called a unit vector.  Any non-zero vector can be made into a unit vector by dividing by its length.

Ex: Find a unit vector parallel to the vector （ 23 ).

(   1  )

Ex: suppose A and B are points with position vectors a and b.

Find a vector (in terms of a and b) which bisects the angle AOB, where O is the origin.

Equations of Lines:

we seek to ind the equation of a line in vector form.  The vector equation of a line is a  formula which gives the position vector x of every point on that line.  This equation is sometimes referred to at the parametric vector form of the line. I will generally just say ‘vector equation, of the line.

suppose we have a line passing through the origin which contains a vector u in R2 .  Ev- ery point on that line will have a position vector which is a multiple of u.   conversely, every multiple of u will correspond to the position vector of a point on that line.  Hence the equation of the line can be written as x = λu where λ is any real number.

For example, if u were the vector （ 3(2) ) then the equation of the line through u passing through the origin would be x = λ（ 3(2) ), λ = R.

Another way of denoting the set of all real multiples of a given vector is to call it the span of the vector.  Thus we could write {λu : λ = R} as span(u).  This idea of span is extremely important.

Ex: In R2  what is the span of ( 0(1) )？what is span ( 1(1) )？

The advantage of this deinition of the equation of a line is that it easily generalises to any number of dimensions. For example） the equation of the line in R3  which passes through the

origin and is parallel to the vector  ( 1 ) is simply x = λ ( 1 )

( -6 )                         ( -6 ).

If the line does not pass through the origin） then we proceed as follows:  To ind the vector equation of a line we need to know two things:

1. The position vector a of a point A on the line

-喻

2. The direction of the line）i.e. a vector AB= b parallel to the line.

0

Thus）the span of b will give a line through the origin parallel to b and adding a will shift the line to its proper position.  Thus we can ind the position vector x of any point X on the line by going from the origin along the vector a and then moving along the line）by adding

喻                                                          -喻            -喻                  -喻

some multiple of b until we reach X.  Thus）the vector OX is given by OX=OA + AX and

喻

AX is some multiple of b.  Hence the equation of the line is x = a + λb, λ E R.

Ex:  Find the vector equation of the line passing through the point P With position vec-

tor  l 23 ) and parallel to the vector  l   6(1)  )

(   5  )                                         ( -4 ).

Ex: Find the vector equation of the line passing through the tWo points P, Q With position vectors P =  l 1 ) and Q =  l 42 )

(  6  )                (  3  ).

Ex: Find the vector equation of the line in 2-dimensions With cartesian equation g = 2① + 1.

Ex: Does the point （ 1 ) lie on the linex = （ 4(3)  ) + λ（ 1(2) )？

(  3  )                              ( 11 )       ( 4 )

conigurations:

In R3  two lines can

. meet at a point

. be parallel

. neither meet nor be be parallel.

Line segments:

The set

S =〈x e R3  : x = ) + λ -31(2) ) ）-1 三 λ 三 3

represents that line segment from  (  4  )      (  0  )

cartesian Equations of the Line: Given the vector form of a line in 3-dimensions, we can write down the cartesian equations (note the plural) as follows.  For example, suppose the

vector equation is x = （ 1 ) + λ（ 32 ).  Recall that x is simply an abbreviation for

(  3  )        (  1  )

( ①(①)1  ). Hence, equating co-ordinates, we can write ① = -1 + 3λ) ①  = 2 - 2λ) ①  = 3 + λ

( ①3(2) )                                                                     1                                 2                           3                    .

Eliminating λ from these equations we have

= = .

These are called the cartesian equations of the line.  clearly this can be done for any such line and so the general form is