1. Let sn  be a simple random walk:  s0  = s, sn  = s0 + y1 + . . . + yn , where yk  are iid with r(y1  = 1) = 1 - r(y1  = -1) = P e (0, 1).  suppose 大0  = {Q, Ω} and 大n  = σ(y1 , . . . , yn ). Deine

( 1  sign(①) =〈  0  

(    1

if ① 持 0,

if ① = 0,

if ① < 0,

a) Let Mn  = sn - nμ and Zn  = (sn  - nμ)2  - nσ 2 , where μ = 2P - 1 and σ2  = E[(yn  - μ)2]. show that Z and M are martingales. [6 marks]

b)  suppose s 持 0 is an integer, μ < 0, and let T = inf{n : sn  = 0}. show that E[T] = -  and Ⅴ aT(T) = -s .  (Hint: You may use The optional stopping Theorem without justiication.)  [6 marks]

c)  show that

E [(|sn+1 | - |sn |)1[Sπ持0] I 大n]= 1[Sπ持0](2P - 1). [3 marks]

d)  show that

E [(|sn+1 | - |sn |)1[Sπ<0] I 大n]= 1[Sπ<0](1 - 2P). [3 marks]

e) It is known that there exist a martingale M with M0  = 0 and a predictable process A such that |s| = |s| + M + A.  compute A in this decomposition using your results from parts c) and d) . (Hint: First compute An - An-1  assuming the decomposition and using the fact that A is predictable and M is a martingale. Next

observe that An  =Σk(n)=1 Ak - Ak-1.)                             [8 marks]

2.  Identify the closed sets, and transient and recurrent states in the follow- ing Markov chain in discrete time. Is the chain irreducible？  [5 marks]

1    2    3   4    5

1   0    0   .5   .5    0

2   0   .5   .5    0    0

3   .3   .2   .5    0    0

4   0    0    0   .4   .6

5   0    0    0    0    1

3.     a)  Bonnie,s restaurant business luctuates in successive years between three states: 0 (bankruptcy), 1 (verge of bankruptcy) and 2 (sol- vency). The transition probabilities of evolving from state to state are given by the following matrix:

0      1     2

0    1     0     0

1    .5    .25   .25

2   .25    .5    .25

Is the chain irreducible？  Is it aperiodic？ what is the expected  number of years until Bonnie,s restaurant goes bankrupt if she  starts from the state of solvency？  (Hint:  consider the  function  h(i) = E[T |xo  = i], where T = inf{n : xn  = 0}.)           [8 marks] b)  Now suppose that Bonnie has a partner, clyde, who infuses her

business with cash whenever state 0 is reached in order to return her to solvency immediately. Therefore the new transition matrix for the states of Bonnie,s business is given by the following:

0      1     2

0    0     0     1

1    .5    .25   .25

2   .25    .5    .25

Is the new chain irreducible？  Is it aperiodic？  what  is the ex- pected number of years between the cash infusions from clyde？ (Hint:  Think about whether this new chain possesses a limiting distribution.)                                                                [8 marks]

4.  Let N be a poisson process with intensity λ .

a)  show that, for 0 < s < t,

P[N (s) = k|N (t) = n] = (k(n)k（1 - n-k .

[5 marks] b)  suppose (Yn )n>1  is an iid sequence of random variables indepen-

dent of N. Let x be a compound poisson process deined by

xt  = Y1 + Y2 + . . . + YNt .

show that there exists a function c(a) such that

E[eaxt] = ec(a)t.

with Yo  = g E R.  (Hint:  Try a solution of the form ztHt  where zt  = exp(CBt + (a - 2 )t)) and dHt  = F (t)dt + G(t)dBt  for some adapted process F and G which need to be determined.) [8 marks]

d) It is well known that, for any deterministic function f , the random variable'a(b) f (s)dBs  is normally distributed.  what are its mean and variance？                 [2 marks]

e)  use  the  Feynman-kac  representation  result  to  ind  a  function F (t, 从) that solves

 + (b + a从) ?(?)从(F) + σ 2?(?)从2(2 F)      =   0,

F (T, 从)   =   k从3 ,

where a,b,k and σ are real constants.                              [9 marks]