(Exercises are taken from Algebra:  Abstract  and  Concrete, Edition 2.6  by Frederick M. Goodman.)

1. Write  Z  = {cI | c E R × }for the subgroup of non-zero multiples of the identity matrix in GLn(R). Show the following.

a. If n is odd, then SLn(R)Z = GLn(R) and SLn(R) u Z = {I}, and therefore PGLn(R) 六 SLn(R)

b. If n  is  even,  then  SLn(R)Z  =  GLn(+)(R),  the  subgroup of matrices A with det A  >  0,  and  that

SLn(R) u Z  =  {干I}.   Conclude that PGLn(R) contains an index 2 subgroup which is isomorphic to SLn(R)/{干I}.

2. Exercise §2.4.17 An automorphism of a group G is an isomorphism G 一 G from the group to itself. Fix g E G, and show that the function cg  : G 一 G defined by cg(x) := gxg−1  is an automorphism of G

3. Exercise §2.5.13 The center of a group G is the set

Z(G) := {a ∈ G | ag = ga∀g ∈ G}

of elements which commute with every element of G.  Show that Z(G) is a normal subgroup of G.

4. Exercise §2.7.6 Denote the set of all automorphism of G by Aut(G).

a. Show that Aut (G) is a group, with the operation of composition of functions.

b. Show that the function c : G → Aut(G) defined by g →7 cg  is a homomorphism of groups.

c. Show that the kernel of c is Z(G).

d. The image of c is called the group of inner automorphisms of G and denoted Inn(G).  Show that Inn(G) ≃ G/Z(G).

5. The purpose of this exercise is to compute the automorphism group of a finite cyclic group Let G = ⟨g⟩ be a finite cyclic group of order n.

a. Show that for  any integer  k  ∈   Z,  the  function  pk   :  G  →   G  defined  by  pk(x)  :=  xk   defines  a homomorphism from G to itself.

b. Show that pk  is an isomorphism if and only if gcd(k, n) = 1.

c. Show that [k]n →' pk  defines an isomorphism of groups Φ(n) →  Aut(G).