(Exercises are taken from Algebra:  Abstract  and  Concrete, Edition 2.6  by Frederick M. Goodman.)

1.   Find all the subgroups of the dihedral group D7  (which has order 14).  (Hint: there are 10 subgroups.) Determine which are normal subgroups.  (Note: I’m not looking for detailed proof for this or for (2), but give explanations where appropriate.)

2.   Find all the subgroups of the dihedral group D6  (which has order 12 ).  (Hint: there are 15 subgroups.) Determine which are normal subgroups.

3.  Exercise §2.4.10   For two subgroups H and K of a group G and an element a ∈ G, the ”double coset” HaK is the set {hak | h ∈ H, k ∈ K}. Show that two double cosets are either equal or disjoint.

4.   Let Y be the set of partitions of the set X := {1, 2, 3, 4} into pairwise disjoint subsets, so that we can write

Y = {S1 = 12|34, S2 = 13|24, S3 = 14 | 23}

As discussed in class, this determines a homomorphism ϕ : S4  → Sym(Y), defined so that

ϕ(g)(ab | cd) = g(a)g(b) | g(c)g(d)

Show that ϕ is a surjective homomorphism with kernel

K = {e,  (1 2)(3 4),  (1 4)(2 3),  (1 3)(2 4)}

Use this to show that there is an isomorphism S4/K ≈ S3

5.   Let G be a finite abelian group of order n ≥ 1.

a.   Show that the function ϕ : G → G defined by ϕ(x) := x2  is a homomorphism of groups.

b.   Show that K := ker(ϕ) consists exactly of the elements of order 1 and order 2 in G

c.   Let H := ϕ(G) be the image of ϕ, which is a subgroup of G.  Show there is an isomorphism from G/K to H. Deduce that |H| = n/k, where k = the number of elements of order 1 or 2 in G.

6.   Let G be a finite abelian group of order n.  Show that if 4  | n and if G has exactly one element of order 2 , then G has at least one element of order 4.  (Hint:  x has order 4 if and only if ϕ(x) = x2  has order 2 . Also use the previous exercise.)

7.   Let p be an odd prime number.  Show that there are exactly two elements a ∈ Zp  such that a2  = 1. Conclude that Φ(p) has exactly one element of order 2 .  (Hint:  use the fact that since p is prime, we have that uv = 0 implies either u = 0 or v = 0 for any  u,v ∈ Zp.)