(Exercises are taken from Algebra:  Abstract  and  Concrete, Edition 2.6  by Frederick M. Goodman.)

1.  Exercise §2.4.8   Let ϕ : G → H be a homomorphism of G onto H  (that is, ϕ is surjective).  If A is a normal subgroup of G, show that ϕ(A) is a normal subgroup of H.

2.  Exercise §2.5.8   Suppose N is a subgroup of a group G and [G : N] = 2.  Show that N is normal in G.  (Hint: use the fact that a subgroup is normal iff every left coset is also a right coset.)

3.   Let D be the symmetry group of the disk, as described in class and in Goodman 2 .3.  Show that there is a function φ : D → D such that φ(Tθ) = T2θ  and φ(jθ) = j2θ  (this means:  show that φ is well-defined), and that this function φ is a homomorphism of groups. Also describe the kernel of φ .

The following exercise sets up an example which will appear in future problem sets. Here A will be a commutative ring with identity (examples: Z, Q, R, C, Zn.) I’ll write

C(A) :={(x, g) | x, g ∈ A,x2 + g2  = 1} .

For instance, C(R) is the unit circle in R2 .

4.   Given (x1, g1 ) , (x2, g2 ) ∈ C(A), define

(x1, g1 ) ⊕ (x2, g2 ) := (x1x2  − g1g2,x1g2 + g1x2) .

Show that this always takes values in C(A), and that (C(A), ⊕) is an abelian group.