1. Let x1 , . . . , xn  be iid with population density

fX (①) = e-       o(①)th(>)er(δ)ise.

Here δ, θ are unknown population parameters.   You can use the fact that    has  Exp(1) distribution without proof in this problem.

(a)  (1o points)  Find the method of moments estimator for δ .

(b)  (1o points)  Find the method of moments estimator for θ .

(c)  (1o points)  Find the MLE estimator for δ .

(d)  (1o points)  Find the MLE estimator for θ .

2.  (2o points)  Let x1 , . . . , xn  be iid N (1, σ2 ) where σ2  is an unknown parameter.  consider the hypothesis test:

Ho     :   σ 2 = 4

H1     :   σ 2 = 1.

construct the most powerful rejection region for this test with size a using Neyman-pearson lemma. You must do two things in this question: a) Determine the constant K of your region so that the size is a b) use Neyman-pearson to prove that your region is most powerful.

3. Let x1 , . . . , xn  be iid uniform(o, β) where β is an unknown parameter.   You can use the following fact without proof in this problem:  if x, Y are independent uniform(o,1) then V = x + Y has density

fv (U) = {2(U) — U   1(o) 三(<) U(U)  2(1),

(a)  (1o points)  For n = 2 and a 三 1/2 ind k so that o < β < k(x1 + x2) is a 1 - a conidence interval for β .

(b)  (1o points)  For n = 2 and a 持 1/2 ind k so that o < β < k(x1 + x2) is a 1 - a conidence interval for β .

(c)  (1o points)  For n = 1oo, ind approximate value of k so that o < β < k Σ xi  is a 1 - a conidence interval for β .

4.  consider the Normal regression problem: Yi … N (a + β①i, σ2 ) where a, β, σ 2  are unknown. Recall the following:

          S(S)从(从)从(Y)