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MATH380: Assignment 2

Week 2: Beyond the Near East in the ancient world

W2.1.  (Re-)read Alex Bellos’s Chapter 0, “A Head for Numbers”, and take the Panamath Approximate Number Sense test  (see links on the Week 2 section of the AKO/LEARN site). Describe in a few sentences how your experience with the test and your readings in Bellos and Chrisomalis (see below) suggest a more complicated view of what it means for humans to be “good at mathematics”.  (Optionally, you can include a copy of your Panamath test results, but it’s not required.)

W2.2.  Read the chapter “Introduction” of the Stephen Chrisomalis book Numerical Notation: A Comparative History linked on the Week 2 section of the AKO/LEARN site. Using this information (especially Table 1.1), invent a cumulative-positional number system using any number base you choose, with three distinct symbols to construct the numerals.  (For comparison, the cuneiform base-60 numerals we’ve been studying use combinations of two repeated symbols, the “1” wedge and the “10” wedge.  The base-20 Mayan numerals we discovered in class use a “1” symbol (dot) and a “5” symbol (line).  Ancient Chinese counting-rod numerals are constructed using repeats of only one symbol, the single rod or stroke.)

Briefly explain your invented number system, including writing some sample numbers. Describe how your system handles expressing fractions; you can represent fractions with place-value or devise some other system for them.

W2.3.  (Re-)read the material on ancient Indian ritual geometry  (Śulbasūtra texts) linked on the Week 2 section of the AKO/LEARN site. Review especially the linked material about the constructions we experimented with in the Thursday July 27 tutorial/workshop: setting up an East-West line with gnomon shadows and constructing a square.

Then use a string or cord to draw the construction of a square in a different way by putting marks on the cord with a pen or pencil, in accordance with the following Śulbasūtra instructions.  (The cord’s ends can be fixed in place with tacks as in the linked square-construction activity, or by a helpful friend’s fingers, or however you choose.)

An east-west line is made, equal to the desired length of the square side. Ties are made at both ends of a cord double the desired length, and a mark [A] is put at the middle of the cord.

In one half, another mark [B] is put at a point that falls short of the middle mark [A] by one-fourth the length of the half-cord.  Another mark [C] is put in the middle of the half-cord, for the purpose of establishing the corners. With the two ends of the cord tied to the two ends of the east-west line, the cord is stretched towards the south by the mark [B].  The half-cord middle mark [C] determines the western and eastern corners of the square.

To understand the instructions as you work through the construction, answer the following questions and include the answers with your submitted drawing:

– Call the desired side length the line segment W E , between the two ends of the east-west line.  The cord is prescribed to have length 2 W E . How would you express, in terms of W E , the lengths of the half-cord W A = AE , and BA, and CA?

– When you fix the ends of the cord at the endpoints W and E , and stretch mark B toward the south till the two parts of the cord are straight, what figure is created by the cord and the east-west line?  What are the lengths of its sides?  Draw a sketch of this figure, with its vertices and side lengths labeled.

– Briefly explain why the Pythagorean theorem confirms that stretching the cord in this figure creates a square corner for the square you are constructing.

Week 3: Math of the ancient heavens: circles, stars, predictions

W3.1.  Use the free open-source Stellarium.org software (link on the Week 3 section of the AKO/LEARN site) to show the sky at the date, (approximate) time, and location of your birth.  Use a simple display with the following displayed features:

- horizon line but no atmosphere or ground

-including the celestial pole (south or north, whichever is visible at that place and time!)

- showing ecliptic grid and at least four of the seven classical planets(Mercury through Saturn along with Sun and Moon)

Take a snapshot of this sky with Ctrl-S in Stellarium (the resulting file will be stored somewhere on your device with a filename like "stellarium-00x.png")and submit it for your answer to this question (preferably in electronic form via the AKO/LEARN assignment or email rather than printing it out).

W3.2. Do the prescribed calculations in a fresh copy of the "Hipparchus and the Eccentricity of the Solar Orbit" worksheet (link on the Week 3 section of the AKO/LEARN site) that we started in class on Monday 31 July. Show your calculations as you go.(Recall that we assumed the circle radius for the Sun's orbit to be just 1 "astronomical  unit")

The solar orbit eccentricity that you found is defined to be the distance the Earth is displaced from the center of the Sun's orbit (relative to the orbital radius). Look up the orbital eccentricity of the Earth's orbit in modern heliocentric astronomy. Briefly explain the modern definition of orbital eccentricity, and compare the modern value with the ancient one you just found: is it terribly erroneous, not too bad, surprisingly good? (Remember that the Earth's orbit in a heliocentric model and the Sun's orbit in a geocentric one are basically  the same thing, so comparison is valid!)

W3.3. Review the geometric construction of Brahmagupta's Sine values that we explored on Thursday 3 August. Then look at the following list of nine(Sanskrit decimal place-value) numbers outlined in red in an excerpt from a Sanskrit manuscript of a later work on Indian trigonometry, by the mathematician Bhaskara. These nine numbers can be used to reconstruct a Sine table that Bhaskara constructed (for uniformly spaced angles in the first quadrant of the circle, like Brahmagupta's). The first seven entries in this list are 21, 20, 19,17, 15,12,9.

Solve the following problems to reconstruct and use Bhaskara's Sine table:

-What are the last two numbers in the list, based on the modern transcription of the first seven numbers you were given?

- What is the value of the Radius for this Sine table?

-What are the values of the Sines in this table, and what angles are they the Sines of?(For comparison, compute and write down the modern values of the sines of these angles, produced by a calculator and multiplied by Bhaskara's Radius value.)

-Use the geometric construction prescribed by the commentator Amaraja in our in-class exploration of Brahmagupta's Sine table to compute the exact value of the Sine of 45° according to Bhaskara's Sine

table.

-Use the linear interpolation rule prescribed by Amaraja to compute an approximate value of the Sine of 45°using the neighboring tabulated Sine values in Bhaskara's Sine table.

Week 4: The mathematical frameworks of medieval empires

W4.1. Based on our class meetings and readings in Week 4, u se the method of the 14th-century Muslim mathe- matician al-Kashi to find an approximate value for the square root of 20,000.

W4.2.Based on our class meetings and readings in Week 4, use the "thunderbolt-method"or the"cyclic method"to solve the indeterminate equation 61x²+1=y².