J.  Ecologists  have  long  lobbied  for  protection  for  watershed  forests  because  they  believe  that  it increases the water quality.  Before their next discussion with policy makers, they would like to have a estimate for the change in water quality when the percentage of watershed forest increases by 1% (assuming area of the watershed remains the same) and they ask you for an estimate with 95% confidence.  What values should you give them?  Explain.

2.  The  mathematics  department  at  a  university  is  interested  in  learning  more  about  the  grades  that students  earn  in  an  introductory  calculus  class.    A  sample  of  n =  80  students  who  have  taken  this introductory  calculus  course  during  any  semester  of  the  three  last  three  academic  years  is  selected. The  academic  record  for  each  selected  student  is  reviewed.   The  professors  in  the  math  department determine that, of the available information for all students, the relevant variables are their final grade in the calculus course, their highschool percentile rank, their score on the algebra placement test given to  all  incoming  students who  plan to take  a  calculus  course,  their  ACT  Math  score,  and their  ACT Natural Sciences score.

A.  The  professors in the math department believe that the score on the algebra placement test and the highschool percentile rank will be the best explanatory variables for the final grade in calculus. The partially complete ANOVA table below shows relevant values for the model containing these two explanatory variables.  Conduct the  F test for whether this model is useful or not.

SS           df         MS           F        p-value

Regression Residuals

Total

2840.4

7491.8

10332.2

1420.2

97.3

B.  What  is the minimum number of values that need to be known to be able to fill in the ANOVA table completely?

C.  One of the professors suggests testing whether adding the two ACT scores to the regression model would  improve  the  model.    The  ANOVA  table  below  shows  the  relevant  values  for  the  model containing all four explanatory variables.  Conduct the appropriate F test to determine if adding the ACT scores improves the model.

SS           df       MS         F       p-value

Regression Residuals

Total

2986.2

7346.0

10332.2

746.5

97.9

7.6      3.5e −5

D.  Which of the two  suggested models should the math department use?

E.  In an attempt to further improve the model, the professors decide to look at the a t-tests for each of the  coefficients  in  the  model  that  you  chose  in  part  D. .    Using  the  Python  output  for  both models shown below, conduct each t-test for slope.

F.  Based on the conclusions from part E., which explanatory variable, if any, would you try removing first?

HW10

Jessica Xiong (pqf6rd)

On my honor, I did not give nor receive aid on this assignment beyond the listed collaboration.

Problems:

1. Pollution of water resources is a serious problem that can require substantial efforts and funds to rectify. In order to determine the financial resources required, an accurate assessment of the water quality, which is measured by the index of biotic integrity (IBI), is needed. Since IBI is very expensive to  measure,  a  study  was  done  for  a  collection  of  streams  in  the  Ozark  Highland ecoregion  of  Arkansas  in  which  the  IBI  for  each  stream  was  measured  along  with  land  use measures that are inexpensive to obtain. The land use measures collected in the study are the area of the watershed in square kilometers, Area, and the percent of the watershed area that is forest, Forest. The objective of this study is to determine if these land use measures can predict the IBI so that the funding required for pollution clean up can be accurately estimated. The data collected from the n = 49 watersheds are provided in the file ozark.csv.

A.  Create  a  scatterplots  to  show  the  relationship  between  IBI  and  each  of  the  explanatory variables. Using these plots, does each explanatory variable seem to be useful in predicting the IBI? Explain.

C. Interpret each of the estimated regression coefficients in the equation from part B. in context, including the intercept.

,0 equals 40.629 means that 40.629 is the predicted response when all the explanatory variables are zero. In context, when the area of the watershed and the percent of the watershed area that is forest are zero, the predicted IBI value is 40.629.

,1 equals 0.569 means that 0.569 is the predicted increase in the response of IBI for one more square kilometer change in the area of the watershed when the other explanatory variable, the  percent of the watershed area that is forest, is held constant.

,2 equals 0.234 means that 0.234 is the predicted increase in the response of IBI for one more percent change in the percent of the watershed area that is forest when the other explanatory    variable, the area of the watershed, is held constant.

D. Create the three relevant residual plots for this linear regression model. Do the assumptions for the regression model hold? Explain.

From the graphs, the assumptions for the regression model hold because all residual plots show the residuals scattered randomly around 0 with uniform variation. There isn’t a linear or curved trend  in  each  residual  plot.  Therefore,  the  linearity,  independence,  and  constant  variance assumption are satisfied. The  MLR  model  is  also  robust  against  deviations  from  the  normal distribution. The normality assumption is satisfied.

E. Conduct the test to determine if this model is uesful. Be sure to show all steps.

H0 : This model is not useful (β1 = β2 = 0)

Ha : This model is useful (at least one of β1 o β2 =/ 0)

From the table we can see that the f-statistic is 12.78 and the p-value is 3. 86 * 10−5 . Since p-value is  less  than  the  assumed  significance  level  0.05,  there  is  sufficient  evidence  to  support  the alternative hypothesis and reject the null hypothesis. We have sufficient evidence to conclude that this model is useful, and at least one of β1 or β2 =/ 0.

F. What proportion of the variation in IBI is explained by this model?

About 35.7% of the variation in IBI can be explained by this model because R-squared is 0.357.

G. Conduct the hypothesis tests for each slope. Be sure to show all steps. Do the conclusions for these tests match your observations from part A?

Area:

H0 : β 1 = 0

Ha : β 1 =/ 0

From the table we can see that the test statistic is 4.511 and p-value is 0.000, which is less than the assumed significance level 0.05. There is sufficient evidence to support the alternative hypothesis and reject the null hypothesis. We have sufficient evidence to conclude that β1 ≠ 0 and there is a relationship between the area of the watershed and the IBI value.

Forest:

H0 : β2 = 0

Test statistic is 3.365 and p-value is 0.002, which is less than the assumed significance level 0.05. There is sufficient evidence to support the alternative hypothesis and reject the null hypothesis. We can have sufficient evidence to conclude that β2 ≠ 0 and there is a relationship between the percent of the watershed area that is forest and the IBI value.

Since my observations in part A mention that there is a linear relationship between explanatory variables,  area  and  forest,  and  IBI  value,  both  of the  conclusions  for  these  tests  match  my observations from part A.

H. Researchers would like to estimate the IBI for a stream that was not a part of this study. What is the predicted IBI when the area of the watershed is 55 square kilometers and is 84% forest.

The predicted IBI when the area of the watershed is 55 square kilometers and is 84% forest is 91.5744.

I. Determine the 95% prediction interval for the IBI for the stream described in part H. and the

95% confidence interval for the average IBI for streams with the characteristics given in part H.

The 95% prediction interval for the IBI for the stream described in part H is (59.4265, 123.7221).

The 95% confidence interval for the average IBI for streams with the characteristics given in part H is (80.3822, 102.7665).

J. Ecologists have long lobbied for protection for watershed forests because they believe that it increases the water quality. Before their next discussion with policy makers, they would like to have  a  estimate  for  the  change  in  water  quality  when  the  percentage  of  watershed  forest increases by 1% (assuming area of the watershed remains the same) and they ask you for an estimate with 95% confidence. What values should you give them? Explain.

The 95% confidence interval that I would give is (0.094, 0.373) because in this question, we need to estimate the change in water quality, which is the change in  IBI, while the  percentage of watershed forest increases by 1% with the assumption that the area of the watershed remains the same. This corresponds to the last line in the table. We can also notice that the predicted change in 1% of watershed forest is 0.234. The values of 0.025 and 0.975 correspond to the values of 0.094 and 0.373, which make up the 95% confidence interval.

Problem 2

A.

H0 : This model is not useful (β1 = β2 = 0)

Ha : This model is useful (at least one of β1 OT β2 =/ 0)

F = RegTessiOn MS = 1420.2 = 14. 5961

From the calculation we can notice that the test statistics F is 14.5961 and the p-value is 0.0.

Because p-value is less than the assumed significance level 0.05, there is sufficient evidence to  support the alternative hypothesis and reject the null hypothesis. We have sufficient evidence to conclude that this model is useful, and at least one of β1 OT β2 =/ 0.

B.

The minimum number of values that need to be known to be able to fill in the ANOVA table completely is 4. We can calculate the MS column by knowing two values in each SS and df  columns.

C.

H0 : the two ACT scores are not useful for the improvement of the two-variable models.

Ha : at least one of the two ACT scores improves the two-variable models.

From the calculation we can notice that the test statistics F is 0.7443 and the p-value is 0.4786, which is larger than the assumed significance level 0.05. There is insufficient evidence to support the alternative hypothesis and we fail to reject the null hypothesis. We do not have sufficient evidence to conclude that adding two ACT scores could be useful for the improvement of the two-variable models.

D.

E.

HSRank:

H0 : This variable is not significant (β1 = 0)

Ha : This variable is significant (β1 =/ 0)

Test statistic is 1.896 and p-value is 0.062, which is larger than the assumed significance level 0.05. There is insufficient evidence to support the alternative hypothesis and we fail to reject the null hypothesis. We do not have sufficient evidence to conclude that the β1 ≠ 0, and high school percentile rank is not significant for this model.