Problems for chapter 11

11.1    FDM for Elliptic problems in 2D

consider the poisson equation for the unknown function u(①, g)：

u①① + ugg  = 1,

with boundary conditions

u(O, g) = O, u(①, O) = O,

O < ① < 1,

u(1, g) = g,

u(①, 1) = ①,

O < g < 1,

O 三 ① 三 1,

O 三 g 三 1.

consider a uniform grid, choosing N = 5 for both the ① and the g direction, so that

h = 1/5,    ①i = ih,    (i = O, 1, . . . , 5),        gj  = jh    (j = O, 1, . . . , 5).

Let ui,j  今 u(①i, gj) denote the approximate solutions.  using inite diferent method, set up the system of linear equations for the unknown ui,j .  (you don,t need to solve the system of linear equations.)

11.2    Heat equation

Let u(t, ①) satisfy the equation

ut(t, ①)  =  4u①① (t, ①) + 1,         O < ① < 1,     t 持 O

with initial condition

u(O, ①) = O,              O < ① < 1,

and boundary conditions

u(t, O) = O,    u(t, 1) = O,              t > O.

This equation describes the temperature in a rod.  The rod initially has a temperature of Oc  (zero degree celsius), and is then heated at a uniform rate 1.  However, its two endpoints are kept at the temperature of Oc  at all times.

The unknown function u(t, ①) describes the temperature in the rod at time t > O at the point ① e [O, 1].

(a).    set up the forward-Euler method.

(b).    set up the backward-Euler method. write out the tri-diagonal system one needs to solve at every time step.