Instructions:

.  Respond to each problem below thoroughly, showing all relevant work.

.  Use Python for all calculations.  Include a screenshot showing relevant code and output for each part using Python.

.  Save your completed work as a PDF which you will use on lecture quizzes in the future.

Problems:

1.  At  the  1976  Pro Bowl, Ray  Guy, a punter for the  Oakland Raiders, punted a ball that hung mid-air long  enough  for  officials to  question whether the  ball was  filled with  helium.   The  ball was  found to be  filled  with  ‘standard’  air,  but  since  then  many  have  tossed  around  the  idea  that  a  helium-filled football would outdistance an air-filledone.  Enter science!  Some students at the Ohio State University conducted an experiment to test this myth.They used two identical footballs, one filled with standard air and one filled with helium.  Each football was kicked 39 times and the two footballs were alternated with  each  kick.    The  dataset  helium.csv  contains  the  recorded  distance  of  each  kick.    We’d  like  to investigate these data in a few ways.

1.  Which  inference  procedure  is  appropriate  to  test  if the  average kicking  distance of a  football  is more than 20 yards, regardless of its contents?  Explain.

2.  Does the  inference procedure identified in part  1.  use the  standard Normal  (z) or t distribution? Explain.

3.  What  are the appropriate hypotheses for this test?

4.  Conduct the appropriate test.

5.  Is the  conclusion made from the test in part 4 .  reliable?  Explain.

6.  Construct  a  95%  confidence  interval to  estimate the  average  distance  for  a  kick  based on these data; again, ignoring the contents of the ball?

7.  Does the  interval found in part 6.  confirm the  conclusion made in part 4.?

8.  What  is the margin of error of the interval found in part 6.?

9.  Considering the magnitude of the range of values in the interval found in part 6., does the margin of error found in part 8 .  seem large, moderate, or small?  Explain.

2.  Refer to the  football kick distance in Problem  1.  A  group of kickers and scientists suspect that a ball filled  with  helium  will  travel  further  on  average  than  a  ball  filled  standard  air.    The  file  helium.csv also  contains the  information on the  contents of each ball in the fill  column.   Assign  standard  air  as population  1 and helium as population 2 .

1.  Which inference procedure is appropriate to test if a helium filled ball will travel further on average than a ball filled with standard air?  Explain.

2.  What  are the appropriate hypotheses for this test?

3.  Conduct the appropriate test.

4.  Is the  conclusion made from the test in part 3 .  reliable?  Explain.

5.  Construct a 95% confidence interval to estimate the di↵erence in the average kicking distance of standard air and helium-filled footballs.

6.  Does the  interval found in part 5.  confirm the  conclusion made in part 3.?

7.  What  is the margin of error of the interval found in part 5.?

3.  Consider a study collecting data from a population with an unknown mean and standard deviation.If the  sample  mean  and  sample  standard  deviation  are  the  same,  what  is  the  e↵ect  of  increasing  the sample  size  on  the  following  measures?    The  measure  can  increase,  decrease,  not  change,  or  more information may be needed.

1.  Standard error of the sample mean, SE¯(x)

2.  Degrees of freedom.

3.  Magnitude of the t statistic.

4.  Magnitude of the critical value t* .

5.  P-value.

6.  Margin of error  (assuming the same confidence level) .

7.  Width  of confidence interval  (assuming the same confidence level) .

HW 8

Jessica “Jianan” Xiong (pqf6rd)

On my honor, I did not give nor receive aid on this assignment beyond the listed collaboration.

Problems:

1. At the 1976 Pro Bowl, Ray Guy, a punter for the Oakland Raiders, punted a ball that hung mid- air long enough for officials to question whether the ball was filled with helium. The ball was found to be filled with ‘standard’ air, but since then many have tossed around the idea that a helium-filled football would outdistance an air-filled one. Enter science! Some students at the Ohio  State  University  conducted  an  experiment  to  test  this   myth.They   used  two  identical footballs, one filled with standard air and one filled with helium. Each football was kicked 39 times and the two footballs were alternated with each kick. The dataset helium.csv contains the recorded distance of each kick. We’d like to investigate these data in a few ways.

1. Which inference procedure is appropriate to test if the average kicking distance of a football is more than 20 yards, regardless of its contents? Explain.

A one sample t-test can be used for this study because there is only one quantitative variable: the average recorded distance of footballs. There is also only one population: football.

2. Does the inference procedure identified in part 1. use the standard Normal (z) or t distribution? Explain.

The inference procedure identified in part 1 uses t distribution because the population standard deviation is unknown.

3. What are the appropriate hypotheses for this test?

Null hypothesis: The average kicking distance is less than 20 yards. H0:μ = 20.

Alternative hypothesis: The average kicking distance is greater than 20 yards. Ha: μ > 20.

4. Conduct the appropriate test.

From the code we can notice that the test statistics is about 9.931, and the p-value is about 9. 786 * 10^(−16). When the significance level is 5%, the p-value is less than the significance level. Therefore there is sufficient evidence to reject the null hypothesis. We can conclude that the average kicking distance is more than 20 yards.

5. Is the conclusion made from the test in part 4. reliable? Explain.

The conclusion made from the test in part 4 is reliable because there is a sample size that’s large enough (larger than 30).

6. Construct a 95% confidence interval to estimate the average distance for a kick based on these data; again, ignoring the contents of the ball?

A 95% confidence interval to estimate the average distance for a kick from either of these two balls is (24.92, 27.3877).

7. Does the interval found in part 6. confirm the conclusion made in part 4.?

The interval found in part 6 confirms the conclusion made in part 4 because 20 is not contained in the 95% confidence interval. Therefore, we can reject the null hypothesis and conclude that the average kicking distance is more than 20 yards.

8. What is the margin of error of the interval found in part 6.?

The margin of error of the interval found in part 6 is 1.2339.

9. Considering the magnitude of the range of values in the interval found in part 6., does the margin of error found in part 8. seem large, moderate, or small? Explain.

The margin of error found in part 6 looks small because the margin of error is only about 4.718% of the sample mean.

2. Refer to the football kick distance in Problem 1. A group of kickers and scientists suspect that a ball filled with helium will travel further on average than a ball filled standard air. The file helium.csv also contains the information on the contents of each ball in the fill column. Assign standard air as population 1 and helium as population 2.

1. Which inference procedure is appropriate to test if a helium filled ball will travel further on average than a ball filled with standard air? Explain.

A two-sample t-test is appropriate because there are two independent populations, a helium filled ball and a ball filled with standard air. There is one quantitative variable: the average kicking distance of footballs. And there is also one categorical variable: footballs filled with helium and footballs filled with standard air.

2. What are the appropriate hypotheses for this test?

μ1:  the average kicking distance of footballs filled with standard air .

μ2:  the average kicking distance of footballs filled with helium.

The null hypothesis is a helium filled ball will travel the same distance on average as a ball filled with standard air. H0: μ2 − μ1 = 0

The alternative hypothesis is a helium filled ball will travel further on average than a ball filled with standard air. Ha: μ2 − μ1 > 0

3. Conduct the appropriate test.

From the code, the test statistics is 0.3703, and the p-value is 0.3566. When significance level is 5%, the  p-value  is  larger  than  the  significance  level,  which  means  we  fail  to  reject  the  null hypothesis and  reject the  alternative  hypothesis.  We  can  conclude  that there  is  insufficient evidence to support that a helium filled ball will travel further on average than a ball filled with standard air.

4. Is the conclusion made from the test in part 3. reliable? Explain.

Yes, the conclusion made from the test in part 3 is reliable because the sample size is large enough (greater than 40).

5. Construct a 95% confidence interval to estimate the difference in the average kicking distance of standard air and helium-filled footballs.

A 95% confidence interval to estimate the difference in the average kicking distance of standard

air and helium-filled footballs is (-2.06, 2.98).

6. Does the interval found in part 5. confirm the conclusion made in part 3.?

Yes, the interval found in part 5. confirms the conclusion made in part 3 because 0 is contained in the 95% confidence interval. Therefore we fail to reject the null hypothesis and reject the alternative hypothesis. The conclusion is that a helium filled ball will not travel further on average than a ball filled with standard air.

7. What is the margin of error of the interval found in part 5.?

The margin of error of the interval found in part 5 is 2.523.

3. Consider a study collecting data from a  population with an  unknown  mean  and standard deviation.If the sample mean and sample standard deviation are the same, what is the effect of increasing the sample size on the following measures? The measure can increase, decrease, not change, or more information may be needed.

1. Standard error of the sample mean, SEx-

Decrease. Standard error is s/sqrt(n) . As n increases, the denominator will increase, then the standard error will decrease.

2. Degrees of freedom.