For the Facets of Mathematics technical report coursework you will be working individually on a topic from either the Image processing or the cubic curves theme.  The objective of the coursework is to produce a technical report discussing and explaining the topic.

1    Image Processing

The following is a list of Image processing report topics for the Facets of Mathematics technical report.  Each topic includes a brief description and one or more starting point references.

You should investigate your report topic, starting with the given description or starting point references, but also reading around the subject. You should also perform some relevant calculations in python.

IP-R-1: Image restoration

An image captured using a camera is in practice afected by the physical properties or constraints of the camera. In particular a photograph of a pure point source (e.g. a distant star) will not typically yield a single illuminated pixel, and the image (even ignoring compression artefacts) will contain some level of noise.  one way to model the imaging process is as a “linear, shift-invariant”(LsI) system, with (solomon and Breckon equations (6.1))

g (①, g) = ll f (①、, g、)h (① - ①、, g - g、)d①、dg、+ n (①, g) ,

where g (①, g) is the captured image, and f (①、, g、) represents an ideal image that would be captured without the physical constraints noted above.  h (① - ①、, g - g、) is a“point spread function”, and n (①, g) a noise term.

Given knowledge of the point spread function and noise term, the image f (①、, g、) can in principle be restored. The key mathematical tool to restore the image is the Fourier transform, combined with the convolution theorem.

In this project you can investigate the mathematical background behind image restoration using this approach, its limitations, and how these limitations can be addressed.

starting point references:

.  chris solomon and Toby Breckon,  Fundamentals of Digital Image  Processing:  A  Practical Approach with E从amples in Matlab, John wiley & sons, Ltd, 2011, sections 5.7, 5.10, and 6.1-6.3

. 公kimage.re公toration documentation, https://scikit-image.org/docs/stable/api/skimage.restoration.html, particularly richard公on lucy .

IP-R-2: Affne transformations

we can assign each pixel in an image a  cartesian  coordinate,  (①, g).   An “a伍ne  transformation”  is  a  linear transformation of the coordinates, plus some translation (solomon and Breckon equation (7.8)),

( g(①)、(、)  ) = ( d(a)   e(b) ) ( g(①) ) + ( f(c) ) ,

for some given constants a,b,c,d,e,f with ae bd.

In this project you can investigate the mathematical background behind a伍ne transformations, speciic examples (e.g. procrustes transformations), and applications.

starting point references:

.  chris solomon and Toby Breckon,  Fundamentals of Digital Image  Processing:  A  Practical Approach with E从amples in Matlab, John wiley & sons, Ltd, 2011, sections 7.2—7.7

.  skimage.transform documentation, https://scikit-image.org/docs/stable/api/skimage.transform.html .  scipy.ndimage documentation, https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/ndimage.html

IP-R-3: Non-linear transformations

A伍ne transformations are only one class of image transformation, but we can consider more general cases (solomon and Breckon equations (7.27))

从、= Tc(从, g) ,

g、= Tg  (从, g) ,

where Tc(从, g) and Tg (从, g) are some known, but possibly non-linear  (and non-a伍ne), functions mapping the image coordinates.

In this project you can investigate the mathematical background behind more general non-linear transformations, perhaps considering some speciic examples, their properties,  and  applications  (e.g.   for  correcting  non-linear distortion of images).

starting point references:

.  chris solomon and Toby Breckon,  Fundamentals of Digital Image  Processing:  A  Practical Approach with E从amples in Matlab, John wiley & sons, Ltd, 2011, section 7.9

.  skimage.transform documentation, https://scikit-image.org/docs/stable/api/skimage.transform.html .  scipy.ndimage documentation, https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/ndimage.html

IP-R-4: Noise removal

In the week  4 tutorial there were  examples  of removing  salt-and-pepper  and  Gaussian  noise.   In  the  Image processing end-of-theme there was a further example of an image with added noise consisting of random bit lips in the green channel.  we have so far focussed on the use of Gaussian and weighted averaging ilters,  and rank ilters, for noise removal.

In this project you can investigate techniques for image noise removal.  You should consider looking beyond the approaches introduced in the tutorial, and consider the mathematical background behind the diferent techniques.

starting point references:

.  chris solomon and Toby Breckon,  Fundamentals of Digital Image  Processing:  A  Practical Approach with E从amples in Matlab, John wiley & sons, Ltd, 2011, section 4.4

.  skimage.restoration documentation, https://scikit-image.org/docs/stable/api/skimage.restoration.html .  scipy.ndimage documentation, https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/ndimage.html

IP-R-5: Edge enhancement

Edge enhancement seeks to “sharpen” an image.   The  problem of edge enhancement is closely related to the problem of edge detection, and it is in particular possible to use derivative ilters as one component in an edge enhancement ilter.

In this project you can study and implement examples of edge enhancement processing techniques.  You should consider at least Laplacian edge sharpening and unsharp mask ilters, and consider the mathematical background behind the techniques.

starting point references:

.  chris solomon and Toby Breckon,  Fundamentals of Digital Image  Processing:  A  Practical Approach with E从amples in Matlab, John Wiley & sons, Ltd, 2O11, sections 4.5—4.6

.  skimage.filters documentation, https://scikit-image.org/docs/stable/api/skimage.ilters.html

IP-R-6: Line drawing

If we attempt to draw a black straight line on an image then we immediately encounter a problem:  the line is a continuous geometric object, but the image consists of discrete pixels.  We therefore have to choose, when drawing the line, which pixels should be considered part of the line, and be updated, and which should not.

We equip the image with cartesian coordinates, with increasing column corresponding to the positive ①-direction and decreasing row corresponding to the positive g-direction (with the usual pixel indexing conventions).  If we have a line which is not parallel to the g-axis, then we can write the line in the form

g = m① + c,

and we can then, for each column at ① = ①k, set the pixel with coordinate (①k , round (m①k + c)) to black.  If we have a line which is not parallel to the ①-axis, then we can write the line in the form

① = m、g + c、,

and we can then, for each row at g = gk, set the pixel with coordinate (round (m、g k  + c、) , g k) to black. These can be combined to yield “Bresenham,s algorithm” .

The result will typically have “aliasing” problems, meaning that the line does not look smooth.   This can be addressed using more advanced approaches, such as “xiaolin Wu,s algorithm” .

In this project you can investigate and describe Bresenham,s algorithm and xiaolin Wu,s algorithm, and consider python implementations.

starting point references:

.  Li M.  chen,  Digital  and  Discrete  Geometrg:   Theorg  and  Algorithms,  springer  International  publishing switzerland, 2O14, section 4.6

.  xiaolin  Wu,  An  e历cient  antialiasing  technique,   computer  Graphics,   25(4),  pp.     143—152,  1991,  doi:

1O.1145/127719.122734

.  skimage.draw documentation, https://scikit-image.org/docs/stable/api/skimage.draw.html

.  The starting point code Ⅰp-R-6.py

2 cubic curves

Below are the topics for the technical reports in the cubic curves theme.  The description of each topic cites resources you can use in your research.  But you should certainly read around the subject.  There are also some suggested subtopics to look at.   In  the  technical  reports,  you  should use explicit examples that demonstrate understanding of the results you describe. Here, this is more important than the proofs of these results.

cc-R-1: conics and Projective Transformations

conics in R2  are plane curves given by

a①2  + b①g + cg2  + d① + eg + f = O,

where a, b, c, d, e and f are some real numbers such that (a,b, c) (O, O, O). using rotations and translations, we can change the variables ① and g so that the above polynomial equation simpliies to one of the following forms:

(1)  a①2  + bg2 - 1 = O for positive real numbers a and b;

(2)  a①2  + bg2 - 1 = O for real numbers a and b such that ab < O;

(3)  a①2  + g = O for a non-zero real number a;

(4)  a①2  + bg2  = O for positive real numbers a and b;

(5)  a①2  + bg2  = O for real numbers a and b such that ab < O;

(6)  ①2  + a = O for a negative real number a;

(7) ①2 = O;

(8)  a①2  + bg2  + 1 = O for positive real numbers a and b;

(9)  ①2  + a = O for a positive real number a.

This gives us the classiication of conics in R2  (see [1]).  Namely, up to rotations and translations, every conic in R2  is either an  ellipse, or a hgpeTbola, or a paTabola, or one of the degenerate types  (4)—(9).

similarly, we can consider conics in c2  and classify them using linear transformations and translations (see [1]).

we can also consider conics in the projective planes PR(2) and Pc(2) and classify them using pTojective tTansfoTmations.

The classiication of conics in Pc(2)  is very simple: there are just three conics in Pc(2)  up to projective transformation.

They are:

(i)  ①g - z2  = O (an irreducible conic);

(ii)  ①g = O (a reducible conic that is a union of two distinct lines);

(iii)  ①2  = O (a line taken with multiplicity two).

In your report,  you should explain the algorithm for this classiication of conics in  Pc(2),  and  provide explicit examples that illustrate steps of this algorithm (see [1]). You can also include the classiication of conics in PR(2)  up to projective transformation and its relation to the classiication of conics in R2 .

cc-R-2: classiication of cubic curves

cubic curves in Pc(2)  are projective plane curves given by

a1①3 + a2①2g + a3①g2  + a4g3  + a5①2 z + a6①gz + a7g2 z + a8①z2  + a9gz3  + a10 z3 = O,

where a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 , a9 , a10  are complex numbers. For a homogeneous cubic polynomial f3 (①,g, z), the cubic curve f3 (①,g, z) = O is said to be smooth if the system of equations

( ?f3 (①,g, z)

, ?①

= O

,

, ?f3 (①,g, z) = O

(       ?z

has only the trivial solution ① = g = z = O.

Let C be a smooth cubic in Pc(2).  Then there existsa pTojective tTansfoTmation  (see [1]) φ : Pc(2) 一 Pc(2) such that φ(C)

is given by

zg2 = ① (① - z)(① - λz)

for some complex number λ such that λ O and λ 1.  This equation is called the Legendre form of the cubic curve C. Here we need the conditions λ O and λ 1, because C is assumed to be smooth.

Alternatively, one can ind a projective transformation that maps the curve C to the cubic curve given by

zg2  = ①3  + a①2 z + b①z2  + cz3 ,                                                          (、)

where a, b and c are complex numbers. Moreover, since C is smooth, we have

—4a3 c + a2 b2  + 18abc — 4b3  — 27c2 O,

because the polynomial  —4a3 c + a2 b2  + 18abc — 4b3   — 27c2 ,  known  as the discriminant,  is zero if and only if ①3 + a①2 + b① + c has a multiple root. Moreover, using an appropriate change of homogeneous coordinates, we can further simplify the equation (0) so that a = O.  In this case (0) is usually called  weierstrass normal form.

The proof of the described classiication can be found in  [1, 9].  The main idea of the proof is the following： take an inlection point of the curve C, map it to the point  [O ：1 ：O], and map the tangent line to the conic C at this point to the line 从 = O.  Thus, the proof crucially depends on the fact that C contains at least one inlection point (see [9, 4]).  In your report you do not need to prove this fact,  but you can provide some indication of why an inlection point exists. You should provide explicit examples to show that you understand how to ind the required projective transformation. You can include a similar classiication of singular cubic curves (see [1]).

The number j = 256 is known as the j-invariant of the cubic curve C.  It is important, because cubic curves with the same j-invariant are isomorphic.  This does not mean that they must be projectively equivalent.

Namely, instead of looking for an appropriate projective transformation of rc(2) that simpliies the deining equation

of the curve C, we can use quadratic birational transformations rc(2)  --> rc(2) that do the same.  These transformations

of the projective plane are given by

[① ：g ：从]|一 [f2 (①,g, 从) ：g2 (①,g, 从) ：h2 (①,g, 从)],

for some homogeneous polynomials f2 (①,g, 从), g2 (①,g, 从) and h2 (①,g, 从) of degree 2 such that there exist inverse transformations of the same kind.  such maps are always undeined at few points, so that we use symbol  --> instead of 一 when working with them.  The simplest example of a quadratic birational transformation of the plane is the cremona involution, which is given by

[① ：g ：从]|一 ： ：从(1)] =  [g从 ：①从 ：①g].

It is is not deined at the points [1 ：O ：O], [O ：1 ：O] and [O ：O ：1], and it is not a projective transformation, but it has an inverse of the same kind： itself.  Birationally equivalent smooth cubic curves are said to be  isomorphic.

Given a smooth cubic curve C with a point P e C, one can construct a quadratic birational map p：rc(2)  --> rc(2)

such that p(C) is given by (0) and p(P) = [O ：1 ：O].  For the explicit construction of this map see [15, section 1.3].

cc-R-3: Inlection points of smooth cubic curves

Let C be a cubic curve in rc(2).  Then C is given by f3 (①,g, 从) = O,where f3 (①,g, 从) is ahomogeneous polynomial of

degree 3. suppose that C is smooth. Let P = [a ：b ：c] be a point in C. Then the equation

① + g + ?f3 b, c)从 = O

deines the line in rc(2)  that is tangent to the curve C at the point P. The point P is said to be an inlection point

of the curve C if L U C = P.

The cubic curve C contains exactly 9 inlection points (see [1, 4, 9]). This result is important for the classiication of smooth cubic curves, so it is useful to understand how to ind inlection points of the curve C.  Algebraically, this can be done as follows. Let g3 (①,g, 从) denote the determinant

( det ' (

δ2 f3 (从,g,z)

δ从δ从

δ2 f3 (从,g,z)

δgδ从

δ2 f3 (从,g,z)

δzδ从

δ2 f3 (从,g,z)

δ从δg

δ2 f3 (从,g,z)

δgδg

δ2 f3 (从,g,z)

δzδg

δ2 f3 (从,g,z)

δ从δz

δ2 f3 (从,g,z)

δgδz

δ2 f3 (从,g,z)

δzδz

)

'

'  .

)

Then g3 (①,g, 从) is a non-zero homogeneous polynomial of degree 3, and all inlection points of the curve C are

given by the system of equations

{g(f)3(3)①(①) g(g) 从(从) O(O),

Now we can use B,ezout,s theorem and the smoothness of the curve C  to show that this system has exactly 9 solutions in Pc .

In your report, you should explain why inlection points of the curve C satisfy the equation g3 (①,g, 从) = O, and provide examples with explicit descriptions of inlection points of particular smooth cubic curves.  You can also

discuss why inlection points of the curve C have the following nice property:  every line in Pc(2) that passes through

two inlection points of the curve C contains another (third) inlection point of the curve C.

CC-R-4: Finite projective planes

Let F be a set equipped with two operations + and * such that the following 9 conditions hold:

1.  The set F has an element, which is usually denoted by O, such that

O + a = a + O = a        for all a e F.

2.  (a + b) + c = a + (b + c) for all a, b, c e F.

3.  For every pair of elements a, b e F, there exists an element c e F such that

a = c + b.

we denote c simply by a — b  (if a = O, then we write — b instead of O — b).

4.  a + b = b + a for a, b e F.

5.  The set F has an element, which is usually denoted by 1, such that

1 * a = a * 1 = a        for all a e F such that a O.

6.  (a * b) * c = a * (b * c) for all a, b, c e F.

7.  For every pair of elements a, b e F with b O, there exists an element c e F such that

a = c * b.

we denote c by (if a = 1, then we often write b-1  instead of ).

8.  a * b = b * a for all a, b e F.

9.  a * (b + c) = a * b + a * c for all a, b, c e F.

In this case, we say that F is a feld. standard examples of felds are:

.  the ield of rational numbers Q,

.  the ield of real numbers R,

.  the ield of complex numbers c,

all equipped with the usual addition and multiplication.  These ields are ininite.  what about inite ields？ Do they exist？ Yes, they do.

Let p be a prime and Fp  be the following set consisting of p integers:

{O, 1, . . . , p — 1}.

Equip this set with operations + and * as follows. For every two elements a and b in Fp, we let

a + b = the remainder of the integer a + b when divided by p.

Figure 1: The Fano plane

similarly, we let

a * b = the remainder of the integer a * b when divided by p.

Then Fp  equipped with these operations + and * is a ield (see [1O]).

Thus, we see that there are ields with p elements, where p is a prime number.  It would be nice to consider other inite ields (of course if they exists).  one can easily show that there is no ield consisting of 6 elements.  what about a ield consisting of 4 elements？ Does it exist？ Yes, it does (see [1] for an explicit construction), and we usually denote it by F4.  similarly, for every prime p and every positive integer n, one can construct the ield Fq that consists of q = pn  elements. Moreover, one can show that these are all possible inite ields.

Finite ields, which are also known as Galois ields, play a fundamental r^ole in a number of areas of mathematics and computer science, including number theory, algebraic geometry, cryptography and coding theory.  Moreover,

we can use them to deinefnite pTojective planes, denoted by PF(2)q , in a very similar way to how we deined Pc(2) in

[1]. Then we can deine lines in PF(2)q   and play with them.

The simplest example of a inite ield is the ield F2  that consists of just two elements: O and 1.  In this case, the

plane PF(2)2   consists of the following 7 points:

[O : O : 1],  [O : 1 : O],  [1 : O : O],  [O  : 1 : 1],  [1 : O : 1],  [1  : 1 : O],  [1 : 1 : 1].

similarly, there are just 7 lines in PF(2)2 . They equations are

① = O, g = O, 从 = O, ① + g = O, ① + 从  = O, g + 从  = O, ① + g + 从  = O.

The plane PF(2)2   is known as the Fano plane. A schematic of its points and lines is provided in Figure 1.

we can use inite projective planes to construct games. For instance, the card game known as Dobble consists of 55 cards such that each card contains 8 distinct funny symbols, there are 57 symbols in all cards in total, and every pair of distinct cards has exactly one symbol in common.  To generate cards in Dobble, we can consider

its symbols as points in PF(2)7 , and the cards as lines in this plane.  since there are 57 lines in PF(2)7 , and each line

contains exactly 8 points, this gives us 57 持 55 cards with desired property.  similarly, using PF(2)2 , we can construct

Dobble game with just 7 cards.

In your report, you should explain what is a ield and deine projective plane over arbitrary ields.  You should provide examples ofinite ields and inite projective planes, and explain how to construct Dobble games with 13, 21, 31 and 73 cards.  You can explain why every inite ield consists of q = pn  elements for some prime p and positive integer n.

CC-R-5: The sylvester—Gallai Theorem

The sylvester-Gallai theorem in geometry states that, given a inite number of points in R2, either:

.  all the points lie on a single line or

.  there is a line which contains exactly two of the points.

It is named after James sylvester, who posed it as a problem in  [16], and Tibor Gallai, who proved it in  [6]. Later, a simpler proof of this result was found by Leroy kelly.  His proof was given in  [2] and is easy to describe (see [1]).  It is more natural to consider this problem for lines in a projective plane  (cf.   [7]).  For instance, the

sylvester-Gallai theorem implies that given a inite number of points in PR(2), either all the points lie on a single

line in PR(2), or there is a line in PR(2)  which contains exactly two of the points.

Let F2  denote the inite ield consisting of just two elements： O and 1.  The  FanO Plane  PF(2)2    (see [1]) contains 7

points and 7 lines and each line contains exactly 3 points.  These points and lines are represented in Figure 1.

observe that the sylvester-Gallai theorem does not hold for PF(2)2 .  what about Pc(2)？ surprisingly, the required

assertion does not hold for Pc(2)  either! Indeed, consider the following 9 points in the complex projective plane：

[1 ：-1 ：O],   [1 ：-w ：O],   [1 ：-w2 ：O],

[1 ：O ：-1],   [1 ：O ：-w],   [1 ：O ：-w2],

[O ：1 ：-1],   [O ：1 ：-w],   [O ：1 ：-w2],

where w = -

and every line in Pc(2)  that passes through two points in (水) also contains a third point in (水).

one can show that the sylvester-Gallai theorem holds for all subsets in Pc(2)  consisting of less than 9 points (see

[1]). In your report, you should prove this and provide explicit examples that illustrate your proof. You can also include the proof of the original sylvester-Gallai theorem for R2, and justify the properties of the set (水) either by explicit computations or by using the fact that (水) consists of 9 inlection points of the smooth cubic curve in

Pc(2)  that is given by

①3  + g3  + 从3  + λ①g从 = O.

Here λ is an arbitrary complex number that is diferent from -3, -3w , -3w2 .

cc-R-6: The cayley—Bacharach Theorem and its Generalisations

The classical cayley-Bacharach theorem says the following： if C1  and C2  are two cubic curves in Pc(2) such that their intersection C1 uC2  consists of exactly 9 points, then every cubic curve in Pc(2) that contains 8 points of the

intersection C1uC2 must contain the ninth point as well.  This result implies pappus, hexagon theorem and pascal,s hexagrammum mysticum theorem (see [1, 9]), and it is also used to establish the important gTOUP law on cubic curves.

To  restate  the  cayley-Bacharach  theorem  in  a  more  algebraic  way,  let  vd    denote  the  vector  space  of  all homogeneous polynomials fd(①,g, 从) of degree d.  Then

dimc (vd) = .

similarly, for distinct points p1, . . . , pk  in the plane Pc(2), denote by vd(p1, . . . , pk) the vector subspace of vd  that consists of all homogeneous polynomials fd(①,g, 从) of degree d such that

'(fd(p1) = O,

'

d(p2) = O,

'

' .

'

'

(fd(pk) = O.

It follows from the rank-nullity theorem that

dimc (vd (p1, . . . , pk)) > dimc (vd) - k.

we say that the points P1）. . . ）Pk  impose independent lineaT Conditions on curves of degree d in Pc(2) if

dimc (vd（P1）. . . ）Pk）) = dimc（vd）- k.

otherwise, we say that the points P1）. . . ）Pk  impose dependent lineaT Conditions on curves of degree d.

Now we can refo