3. Why are the following statements wrong? Explain.

1.  The probability of rain tomorrow is 1.23.

2.  Suppose that you checked in your luggage at the airport.  The probability of the airline losing your luggage or not losing your luggage is 0.90.

3.  Let A and B denote two events. P(A and B) = P(A) ⇥ P(B).

4.  Events A and B are disjoint. P(A and B) = 0.2.

4. In this question, a basketball player hits 80% of her free throws. Assume each free throw is indepen- dent of previous and future free throws. Let H denote the event that the player hits a free throw and let M denote the event she misses a free throw.

1. What is the probability of the player missing a free throw, P(M)?

2.  Suppose the player attempts two free throws.

i. What is the sample space (or, all the possible outcomes)?

ii. What is the probability that she hits both free throws?

iii. What is the probability that she misses both free throws?

iv. What is the probability that she hits only one free throw out of the pair? 3.  Suppose the player attempts three free throws.

i. What is the sample space (or, all the possible outcomes)?

ii. What is the probability that she hits all three free throws?

iii. What is the probability that the first time she misses is on the third attempt? Hint: What does this mean about the first, second, and third attempts?

iv. What is the probability that she would have missed at least one free throw in the three attempts?

Hint: What is the complement?

HW3

Jessica Xiong

‘On my honor, I did not give nor receive aid on this assignment beyond listed collaboration.’ Collaboration: None

Problem 1

1. The response variables are ‘Attitudes towards Socialism’ and ‘Attitudes towards Capitalism’ .

2.  The  explanatory  variable   are  the   political   parties  people  belonged  to:   Democrats  and Republicans.

3.  The population of interest in this case is adults who aged 18 and older, living in all 50 U.S. states and the District of Columbia.

4. The sample size for this poll is 1505.

5. This was not a voluntary response sample. This is because voluntary response sample made up  of participants who have voluntarily chosen to participate as a part of the sample group. However, in this case, the participants were found using ‘random-digit-dial methods’ .

6. Undercoverage for this poll may be those who are under 18 years old.

7.  Nonresponse  for  this  poll  can  be  people  who  cannot  be  contacted  by  ‘random-digit-dial method’ or chooses not to respond and participate in telephone interviews. Ways to overcome this poll may be presenting rewards (little gifts) for people who are willing to participate, thus decreasing the amount of nonresponse.

Problem 2

1. The experimental units for this experiment are sixty premenopausal women, aged 25 to 50 years, completed the intervention.

2.

Factors: Jumping programs

Levels:

1) Jump 10 group : 10 jumps with 30 seconds rest between jumps, twice daily for 16 weeks 2) Jump 20 group : 20 jumps with 30 seconds rest between jumps, twice daily for 16 weeks

3)  Control  group:  did  not  participate  in  any  jumping  exercises  and  served  as  the  baseline comparison for the other groups.

Treatment: High-impact Jumping Exercises

Treatment 1: Control Group (No specific intervention or jumping program.)

Treatment 2: Jump 10 Group (10 jumps, twice daily, 30 seconds rest between each jump) Treatment 3: Jump 20 Group (20 jumps, twice daily, 30 seconds rest between each jump)

3. The main response variable is hip bone mineral density (BMD) in women.

4.  I don’t think this study  is  biased. This  is  because this  study  is  described as a  randomized controlled trial, which is a strong design to minimize bias and provide a rigorous comparison of interventions.

5.

Comparison:

The principle of comparison was used in this study by comparing the effects of different jumping programs  (Jump   10  and  Jump  20)  with  a  control  group  that  did   not  receive  any  specific intervention. The researchers wanted to determine whether there were significant differences in  hip  bone  mineral  density  (BMD)  between  the  groups.   By   having  a   control  group,  the researchers could assess the baseline BMD changes and attribute any observed differences to the specific jumping programs rather than other factors.

Randomization:

Randomization   was    employed   in    this   study.    The   researchers    randomly    assigned   the premenopausal women, aged 25 to 50 years, to one of the three groups: control, Jump 10, or Jump  20.  Random assignment  helps  ensure that  participants  have an equal chance of  being allocated  to  any  group,  which  helps  balance  potential  confounding  variables  and  minimize selection bias.

Replication:

Replication was presented in this experiment. It refers to conducting the same experiment with a sufficient number of participants to increase the generalizability and reliability of the results. In this study, the researchers recruited a total of sixty premenopausal women to complete the intervention. The  participants  were  likely  distributed  across  the  three  groups  in  a  balanced manner, which allows for a fair comparison between the groups. Having a reasonable number of participants helps provide more reliable estimates of the effects of the jumping programs on hip BMD in this population.

Problem 3

The statement "The  probability of rain tomorrow  is  1.23"  is wrong  because probabilities are always  expressed  as  values  between  0  and  1,  inclusive.  A  probability  greater  than  1  is  not meaningful in the context of probability theory.

The statement "Suppose that you checked in your luggage at the airport. The probability of the airline losing your luggage or not losing your luggage is 0.90" is wrong because the probabilities of all possible outcomes of an event must add up to 1. So, the sum of the probabilities of these two outcomes should be 1. If the probability of the airline losing your luggage is 0.90, then the probability of not losing your luggage should be 1 - 0.90 = 0.10, not 0.90.

The statement "Let A and B denote two events. P(A and B) = P(A) × P(B)" is wrong because it applies to the probability of two independent events, not any two events. The formula P(A and B) = P(A) × P(B) holds true only when events A and B are independent. For dependent events, the correct formula is P(A and B) = P(A) × P(B|A).

The statement "Events A and B are disjoint. P(A and B) = 0.2" is wrong because disjoint events are mutually exclusive, meaning they cannot occur simultaneously. If events A and B are disjoint, then the probability of both events occurring together should be 0.

Problem 4

1. The probability of the player missing a free throw, P(M)=0.2.

2.

i) Sample space (SS) for two free throws: {HH, HM, MH, MM} .

ii) The probability that she hits both free throws is 0.64.

iii) The probability that she misses both free throws is 0.04.

iv) The probability that she hits only one free throw out of the pair is 0.32.

3.

i) Sample space (SS) for three free throws: {HHH, HHM, HMH, HMM, MHH, MHM, MMH, MMM}