1. TRUE or FALSE？ prove or disprove the following statements (no points for correct answer without a valid proof):

a)  (2 points) If f e C1 [a, b] and |f( (① )|  三  1  for all ① e  [a, b], then there can be at most one number p e [a, b] for which f (p) = 2p.

b)  (2 points) If f (① ) is Lipschitz on (—钝, 钝), then so is f (① )2  on (—钝, 钝).

2.   a)  (3 points) show that the ixed point iteration

pn = ,       n = 1, 2, . . .

converges for any initial po  e [0, 1].

b)  (1 point) Estimate how many iterationsnare required to obtain an absolute error |pn  - p|  less than 10-4  when po  =  1.   No numerical value needed, just give an expression for n.

3.  (3 points) Find the fourth degree polynomial f (从) which satisies the conditions

f (0) = 1, f (1) = 2,  f\ (1) = a,  f (2) = 2a,  f\ (2) = 2a

4.  (4 points) Find the values of c1 , c2 , ①3 , where ①3   e [0, 3], such that the quadrature rule l03 f (① ) d① = c1 f (0) + c2 f (1) + f (①3 ) has the highest possible degree of precision.

5. consider the following MATLAB code:

function  w  =  magic1(N）

h  =  1  /  N；   w  =  1；   t  =  θ;

for  i  =  1:N

w  =  w  -  h  *   (w  *  t入2）；

t  =  t  +  h；

end

end

a)  (2 points) The function computes  a number 山.   Describe  what this number is approximating in terms of a diferential equation.

b)  (2 points) solve this equation analytically to ind the exact value of the number that the code is approximating (Hint: use separation of variables).

C)  (3 points) Find an N that would guarantee an error of at most  10 —3  in the ap- proximation.

6.  (3 points) consider the n-by-n matrix A With entries

(1       if i = j,

aij  =  1 1      if j = n,

' '      if i 持 j,

('0     otherWise.

For n = 5）determine the LU factorization for the matrix A.