SECTION A CONTROL - Answer TWO questions from this section

A1       Answer ALL parts (a) - (e)

(a)        For the mass–spring–damper system shown in Figure A1, derive a linear time invariant mathematical model expressing the displacement x as a function of the mass M, spring stiffness K and damping parameter C, when an external     force F(t) is applied to the mass. List the assumptions you have made. (3 marks)

(b)        Put the mass–spring–damper model into the standard second order form   shown below. Find the steady state gain, damping ratio, natural frequency and forcing function.

              (5 marks)

(c)        Sketch the response of the mass–spring–damper system for the case that

C = 0 and explain the significance of this result. On the same plot, sketch the response of a critically damped system. For the case that  M = K = 1, determine the value of C that yields a critically damped system. (5 marks)

(d)        The following differential equation represents the closed-loop dynamics of a proportional-velocity (PV) control system:

where x  is the output and  r(t)   is the set point, while  kv   and  kp     are control gains. Design a controller (i.e. determine the values of the control gains) that   yields closed-loop damping ζ = 1 and Φn   = 1.2  rads/s. Find the steady state    gain of the closed-loop system, and state whether or not this control system    achieves steady state tracking of the set point. (6 marks)

(e)        With the aid of sketches and/or any of the equations and analysis considered above, discuss the strengths and weaknesses of PV control in comparison to   proportional-integral (PI) control. (6 marks)

(i)         Is the proportional gain  k1   or k2   ? (1 mark)

(ii)        Using algebra or the rules of block diagram manipulation, show that the Closed Loop Transfer Function is

               (4 marks)

(iii)       Find the steady state gain of the Closed Loop Transfer Function and comment on the significance of your answer. (3 marks)

A3       Answer ALL parts (a) - (d)

The following information is provided for this question:

The frequency response of a Transfer Function  G(s)  is given by:

(a)        Draw a block diagram of a generalized control system, in which  H(s)  is the model, C(s) is the control algorithm and  F(s)  is a feedback element. On

your diagram, label the set point  V(s), control input  U(s)  and output X(s) .  (2 marks)

(b)        Using either standard algebra or the rules of block diagram manipulation,

determine the Closed Loop Transfer Function and write down the associated characteristic equation. (4 marks)

(c)        List and explain, with examples of your own choice, the four common

objectives of control system design as considered in the course. Where

relevant, support your answer with the block diagram from part (a) and the Transfer Function from part (b). (9 marks)

(d)        Consider the model: 

(i)         Using the Laplace transforms stated above, determine the unit step response of the model. (5 marks)

(ii)        Determine the frequency response of the model i.e. the magnitude M and phase φ . (5 marks)

(a)        Describe how a capacitive humidity sensor works with use of a diagram. (5 marks)

(b)        A  certain  polymeric  dielectric  possesses  a  relative  permittivity  of  3  when there is 0% humidity, linearly rising to a value of 10 when there is a humidity of   100%.     A  capacitive   humidity   sensor   is   made   using   this   dielectric. Furthermore,  another  similar  structure  with  the  same  dimensions  as  the humidity sensor but with a fixed dielectric constant is constructed. These two are placed in a bridge circuit as shown in Figure B2.

Assuming that R3=R4, Vs=5 V and the only difference between Csensor  and Cfixed is that the dielectric constant varies in the sensor, determine a relationship between  Vo    and  Vs    (in  terms   of  the   humidity),  simplifying  the   resultant equation as much as possible. (9 marks)

(c)        The output  signal from the  humidity sensor is too small to provide accurate results all of the time. Measurements indicate that the Signal to Noise ratio (SNR) is around 1 for most of the time that the sensor is operational. What does a SNR of 1 mean? (3 marks)

(d)        Define what the following eight terms mean when discussing sensors. Also, list another four terms which you feel are relevant to the design of sensors.

.   Sensitivity

.   Accuracy/Uncertainty

.    Resolution

.    Noise equivalent power (NEP)

.    Hysteresis

.    Long term instability

.   Short term instability

.   Calibration

(8 marks)