•  78) 2, 3, 6, 10

78.6: It’s not asking for the velocity of the individual cars, which would just be u(ρ0 ), but rather how fast the region of stopped cars is moving, if one has density ρ0  before a region of stopped cars, with density ρmax.

•  79) 3

•  80) 1, 5

•  82) 1, 2, 3

82.2: Use ρmax  = 500, umax  = 50, ρ 1  = 300, ρ0  = 100.  Sketch both the solution regions in the xt-plane, and ρ(x, t) for different values of t.  You’ll need to solve an  ODE to get the path of the shock, very similar to what you did on the last homework.  Use integrating factors.

82.3: Use ρmax  = 500, umax  = 50, ρ 1  = 200, ρ0  = 400.  Again, sketch both the solution regions in the xt-plane, and ρ(x, t) for different values of t, and solve for the path of the shock.

•  84) 1, 2

84.1:  this means β = β(x, t).  Show that the answer is actually the same as what we got in Section 77 with no β!

A)  Let u(x, t) ≥ 0 be a population density for −∞ < x < ∞ .

a)  Suppose that the population moves with flux Q(x, t) =  −D .  Explains what this means physically about how the population is moving, and what effect it has on the population distribution.

b)  Recall conservation of mass, where u(x, t) was a distribution of cars, called ρ(x, t). Use this and part a) to show that = D .

c)  Show that u(x, t) = e It’s easiest to write u(x, t) = t− .5 e−x2 (4Dt) − 1   and use the product rule.

d)  Set D = .25 and sketch u(x, t) for t = 1, t = 4, and t = 9.  Explain whether or not this is consistent with your answer from part a).

B)  The diffusion equation with logistic growth for a population u(x, t) is

= D + ru (1 − u) .

It is called Fisher’s equation or the KPP Equation, and is well known to lead to traveling wave solutions.

a)  Let u(x, t) = U (x − ct), and V = U′ .  Derive a  2-dimensional system of ODE’s for U and V.

b)  Find the critical points, and the Jacobian at each critical point.  c)  Show that if r > 0 the critical point at (K, 0) is always a saddle.

d)  Suppose that the critical point at (0, 0) is a spiral in (complex eigenvalues). Sketch the general solution to the system for (U, V) in the UV-plane.

e)  Sketch U (x − ct) for the solution in d) for t = 0, 1, 2.  Explain why this is NOT a physically realistic solution.

f)  Suppose that the critical point at (0, 0) is a sink (real eigenvalues).  Sketch the general solution to the system for (U, V) in the UV-plane.

g)  Sketch  U (x − ct)  for  the solution in f) for t =  0, 1, 2.   Explain  why this IS a physically realistic solution.

h)  Compute the values of c for which the eigenvalues of the critical point  (0, 0) are real.  (Hence the solutions in f, g above).  This gives the ‘minimum wave speed’ for the traveling wave U (x − ct).

i)  How does everything in the above change if r < 0? Redraw the critical points in the UV-plane (nodal sink case), and the corresponding traveling wave solution.

C)     a)  Let N be the Numic population and  P the Prenumic population in the great basin. Assuming 1-dimensional model for the space variable x, use the competing species equations given in the article to write the reaction-diffusion equations for and .  Use the specific numbers for the parameters that are given in the article.

b)  Find the competing species equation

= N (r1 − αN − βP)

= P (r2  − γN − δP)

corresponding the the parameters from above.  Find the critical points and sketch the general solution for N, P ≥ 0 using nullclines/direction arrows.

c)  Suppose N =  U (x − c1 t),  V = U′ , P = W (x − c2 t),  Z = W′ .  Find the 4 × 4 system of ODE’s for U, V, W, Z corresponding to the reaction-diffusion equation.

d)  Find all critical points for the equations in c).

e)  Find a critical point of the form (a, 0, 0, 0).  Find conditions for which the eigen- values are real. If the eigenvalues are real, how many are negative?

f)  Find a critical point of the form  (0, 0, b, 0).  Find conditions for which the eigen- values are real. If the eigenvalues are real, how many are negative?