1.  The following competing species equation has a critical point at (1, 2, 3).

dx/dt =   x(11 − 2x − 3y − z)

dy/dt =     z(9 − x − y − 2z)

dz/dt =     z(9 − x − y − 2z)

(a)  (6 points)  Find the  Jacobian at  (1, 2, 3).  (Use that this is a Kolmogorov system. Don’t start taking derivatives!)

(b)  (6 points)  The characteristic polynomial of this Jacobian is λ3  + 12λ2  + 17λ + 24. Determine if (1, 2, 3) is a stable critical point in R3 .

(c)  (6 points)  Find a critical point of the form  (x* , 0, z* ) where x* , z*  > 0.  Sketch the solution to the competing species equation for g = 0 in the xz-plane, and use this to determine of your critical point is stable in the xz-plane.

(d)  (6 points)  Determine if the critical point you found above is stable in R3 .

(e)  (6 points)  Find the  critical point of the form  (0, y* , 0) where y*   > 0.  Determine whether or not it is stable in R3 .

(f)  (5 points)  There are no other stable critical points in R3 .  The eigenvalues of the critical point at (1, 2, 3) are λ 1  ≈ −11, λ2  ≈ −0.7 + 1.3i, λ3  ≈ −0.7 − 1.3i.  Sketch z(t) if (x(0), y(0), z(0)) = (2, 1, 5).

2.   (a)  (5 points)  State the mean value theorem for integrals.

(b)  (10 points)  Suppose ρ(x, t), q(x, t) have continuous partial derivatives.  Prove that if a(b) ρ(x, t) dx = q(a, t) − q(b, t) for all −∞ < a < b < ∞, then  = −  .

3.  Suppose ρ solves  +   = 0, with u(ρ) = 60 − .25ρ2  mph

ρ(x, 0) = 10 + 2e−x2

(a)  (7 points)  Find an approximate solution for ρ(x, t) using a solution to  +c = 0. What is c?

(b)  (5 points)  Sketch the solution for t = 0, 1, 2:

−60       −50       −40       −30       −20       −10          0            10          20

t

(c)  (3 points)  Explain what it means for this solution to be moving backwards, if the cars are moving forwards.

(d)  (3 points)  What is the approximate velocity of the cars moving forwards?

4.  Suppose ρ solves  +  

= 0, with u(ρ) = 90 − .2ρ and

!  200             x ≤ 0

ρ(x, 0) =〈 200 − 5x   0 ≤ x ≤ 10 .

(  150            x ≥ 10

(a)  (12 points)  Sketch  the characteristics in the xt-plane, and solve for ρ(x, t) in all regions of the plane.

(b)  (4 points)  Check your answer by showing that ρ(x, t) is continuous on the boundary of each region above.

(c)  (6 points)  Sketch ρ(x, .2).  Label any important points on the x-axis.

5.  (10 points)  Suppose we still have u(ρ) = 90 − .2ρ, but now

ρ(x, 0) = {1(2)0(5)0(0)

so that

         250

ρ(x, t) =〈 225 − 2.5  (    100

x < 0

x ≥ 0 ,

x < −10t

−10t < x < 50t

x ≥ 50t