Q1 A neutral, conductive sphere of radius R1  is surrounded by a hollow spherical conductor of internal radius R2 and external radius R3  charged with a charge Q, as shown in the cross-section Figure  Q1.

(a)       Derive the expression for the magnitude of the electric field E(r), for r between 0 and 1.  Note that r = 0 is the origin of the spherical reference system, as shown in Figure  Q1. [8]

(b)       Hence or otherwise, derive the expression for the scalar potential V (r), for r between 0 and 1.

Suggestion: For calculating the potential, start from the region of space where r > R3   and impose the condition that V (r = 1) = 0 .  To assign the potential at the interface r = R3 , substitute R3 into the expression for V (r) obtained for r > R3 . [6]

(c)       Sketch the function  E(r)  (magnitude of the electric field) and V (r) (scalar potential) over a suitable range indicating the numerical values of the two functions at r  = 0, r  = R1 , r  = R2 , and r  = R3 .   To this end, consider R1  = 10cm, R2  = 20cm, R3  = 50cm, and Q = 111.3⇥10-12 C. Remember to use the appropriate units on the graphs. [6]

(d)       Briefly describe what happens to the electric field in the region with R1  < r < R2 at the static equilibrium if a charged sphere of radius Rs = 20 cm and charge Qs = 10-6 C is positioned close to the hollow conductor, with its centre at R4 = 4 m. Justify your answer discussing the physics of the problem. [5]

Q2 Consider two infinite conductive wires W1  and W2  of negligible section, extend-ing into the z direction, carrying currents I ~ 1 = I0zˆ and I ~ 2 = −I0zˆ, respectively, and located at the the coordinates P1  = (0, a) and P2  = (2a, 0) in the (x, y) plane as shown in Figure  Q2 (section of the problem at fixed z).  Note that

ˆ(z) points out from the page.

field B(~) at the point C of coordinates (2a, a) in the (x, y) plane as a function of the problem parameters (I0  and a) and the constant µ0 . [10]

(b)       Find the expressions for the~magnitude and the angle with the x axis of the total magnetic field B at the point C of coordinates (2a, a) in the (x, y) plane as a function of the problem parameters (I0  and a) and the constant µ0 .  Graphically show in a sketch similar to that in Figure  Q2 how B(~) is oriented. [9]

(c)       Find the expressions for the force per unit length acting on the wire W2 as a function of the problem parameters (I0  and a) and the constant µ0 . [6]

SECTION B

Q3 Consider the arrangement of conductors with constant transverse section shown in Figure  Q3, where a conductor with resistivity p2  is inserted between two conductors of resistivity p1   > p2 . Assume that the conductors have relative permittivity εr   = 1 and that a uniform and constant current I flows in the elements along the positive z direction, as shown in the figure.

(a)    Derive the expressions for the charge accumulated at the interfaces between the conductors at z = z1  and at z = z2  as a function of the problem parameters I , p1 , and p2   and of the dielectric constant ε0 .

(b)    Suppose now that the section of the conductor assembly increases along the z direction so that the section at z2  is double the area of the section in z1. Write the expressions for the charge accumulated at the interfaces between the conductors at z = z1  and z = z2  as a function of the problem parameters I , p1 , and p2  and of the dielectric constant

Suggestion:  the answer does not dependent on how the conductor sec- [5]

tion changes along z.

Q4 Electric and magnetic fields in vacuum.

(a)    Consider a region of space free from matter and from magnetic fields. Show that it cannot be permeated by an electrostatic fieldof the form:

E(~)(x,y, z) = A ( −3y ˆ(x) +6xy(ˆ) +10zˆ(z) ) ,

where A is a constant value di↵erent from zero and with units V/m2 .

(b)    Now, consider that a magnetic field permeates the region of space in

B(x,y,z, t) that renders the vector field proposed in (a) suitable to

describe an electric field. Check and demonstrate that the expression [7] you found is a suitable representation of a magnetic field.

SECTION C

QUESTIONS 5-9 ARE ON MOODLE QUIZ

Q5 Consider a parallel plate capacitor with the plates kept at a constant potential di↵erence by a power supply. Mark the correct statement.

A. If the distance between the plates increases, the stored energy increases. B. If the area of the plates are reduced, the stored energy increases.

C. If the area of the plates are reduced, 20 magnetic monopoles appear.

D. If a dielectric with ✏r  > 1 is inserted between the plates, the stored energy increases. [4]

Q6 Consider an ideal parallel plate capacitor of capacitance C, charged with charge Q and isolated. Choose the correct statement.

A. If a dielectric with relative permittivity εr   > 1 is inserted between the plates the accumulated energy decreases.

B. If a dielectric with relative permittivity εr   > 1 is inserted between the plates the accumulated energy increases.

C. When a dielectric with relative permittivity εr   > 1 is partially inserted between the plates there is a force that pushes it outside.

D. When a dielectric with relative permittivity εr  > 1 is partially inserted be- tween the plates the charge accumulated on the capacitor plates changes. [4]

Q7 Consider the magnetic properties of materials and mark the correct statement.

A. A good permanent magnet features a low value of the magnetic retentivity (remanence)

B. Superconductors are strong ferromagnetic materials

C. Dielectric materials may experience levitation in strong magnetic fields. D. Temperature does not influence the magnetic properties of ferromagnets [4]

Q8 Consider a conductor with an arbitrary shape of finite size, charged with a

charge Q > 0 and at the static equilibrium. Chose the correct statement.

A. The electric potential inside the conductor can only be zero.

B. The electric field outside the conductor at large distances r, for r much larger than the conductor size, decays as 1/r.

C. The magnitude of the electric field outside the conductor in close proximity to the surface is proportional to the carrier density on the conductor surface.

D. The electric field inside the conductor is strongest at the centre. [4]