Question 1                                        3D SFM and Image formation

1.   (a)  Given two calibrated cameras, C1  and C2 , C1  has a focal length of 500 in x and 375 in y , (in pixel unit) the camera has resolution 512 ×512, and the camera centre projected to the image is at (249, 249), with no skew. Suppose C2  has the same image resolution and focal length as C1, but the camera centre projected to the image is at (251 , 252). Write down the calibration matrix K1  and K2  for C1  and C2  respectively.

(b)  Suppose that a 3D world coordinate system ((X,Y, Z) coordinates as in Figure1) is defined as aligned with the camera coordinate system of C1. More specifically, the world origin is at the camera centre of C1, the Z axis is aligned with the optical (principal) axis and the X and Y world coordinate systems are aligned parallel with the x and y axes of the image of C1. Write down the matrices K[R|t] which define the projection of a point in the world coordinate system to the image of C1 .

(c)  Suppose that the scene has a point, P1, that in the world coordinate system defined above that lies at (39, 35, 100). Note that the points in the world coordinate system are measured in centimetres. What location (to the nearest pixel) will that world point (P1) map to in the image of C1?

(d)  Suppose that with respect to the world coordinate system that is aligned with camera C1 , camera C2  begins being aligned to C1  and is then rotated by 45。 about its vertical axis (Y axis) (as shown in Figure 2), and subsequently, the centre of C2  is translated by 0.2 metre to the left of C1  (along the X axis of C1), then moved forward by 0.2 metre parallel to the optical axis of C1. Write down the matrices K[R|t], which define the projection of points

in the world system (i.e, the same coordinate system of C1) to the image of C2 . (e)  Define the term “epipole” .

(f) For camera C1, there is an epipole (or epipolar point) that relates to camera C2. For the two-camera setup for predicting structure from motion, what is the position of the epipole in camera C1  of camera C2? (Hint: It is a point in the image coordinates of Camera C1).

Question 2                                                      Epipolar geometry