Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Midterm study Guide

Math 105-2, summer 2023

(1) In each part, a relation on the set R of real numbers is given. Determine if the given relation is relexive, symmetric, or transitive.

(a) x 三 g

(b) x < g

(c) x < |g|

(d) x2 + g2  = 1

(e) x2 + x = g2 + g.

(2) Let X , Y ,  and Z be sets and let f  :  X 一 Y  and  g  :  Y  一  Z  be functions.

(a) If f and g are both injective prove that g 。f is injective. Does the con- verse hold？

(b) If f and g are both surjective prove that g 。f is surjective.  Does the converse hold？

(c) If f and g are both bijections prove that g 。f is a bijection.  Does the converse hold？

(3) Let A, B, and C be sets. prove:

(a) A U (B U C) = (A U B) U C.

(b) A U (B n C) = (A U B) n (A U C).

(c) (A n B) U (A n C) = A n (B U C).

(d) (A n B) U (B n C) U (C n A) = (A U B) n (A U C) n (B U C).

(e) (A / C) U (B / C) = (A U B) / C.

(4) Let f : X 一 Y be a function. If A and B are subsets of X is f (An B) = f (A) n f (B)？

(5) Let f  :  X  一  Y  be a function.   prove the following properties of the inverse image (aka preimage) deined in Homework 1, problem 3.

(a) A 己 f-1 (f (A)) for any subset A 己 X .

(b) f (f-1 (B)) 己 B for any subset B 己 Y.

(c) f-1 (B1  n B2 ) = f-1 (B1 ) n f-1 (B2 ) for any subsets B1 , B2 己 Y. (d) f-1 (B1 U B2 ) = f-1 (B1 ) U f-1 (B2 ) for any subsets B1 , B2 己 Y. (e) f-1 (Y / B) = X / f-1 (B) for any B 己 Y.

(6) If S is an ininite set prove that S contains an ininite subset that is countable.

(7) Let S be the collection of sequences whose terms belong to the set {0, 1}. prove that S is uncountable (mimic the proof that R is uncountable given in class).

(8) Let A be a nonempty bounded above set of integers.  prove that sup(A) e A.

(9) Let p e N be a prime number.  prove that^p is irrational.

(10) show that the supremum and inimum of a set are unique if they exist.

(11) Find the supremum and inimum of the following sets (if they exist):

e N}.

(b) B = {x e R| x2 - 8x + 8 < 0}.

(c) C = {x e R|(x - 2)2  > 4}.

(d) D = {x e R|(x - a)(x - b) < 0} where a, b e R are such that a < b.

(e) E = {x e R|(x - a)(x - b)(x - c) < 0} where a,b, c e R are such that a < b < c.

(12)  Let  A  and  B  be two sets of  positive numbers bounded  above,  let a  =  sup(A),  b  =  sup(B).    Let  C  be the set of all numbers of the form xg where x e A and g e B.  prove that ab = sup(C).

(13) Let a, b e 政, a < b. prove that inf((a, b)) = a and sup((a, b)) = b.

(14) prove that the intersection of the open intervals  (-1/n, 1/n), where n runs over the natural numbers, is equal to {0}.

(15) Recall that the kth coordinate vector in Rn , for k  =  1, . . . , n,  is the vector uk  whose kth entry is equal to 1 and all other entries are equal to 0. prove that uk  . uj  = 0 if k j and IukI = 1 for all k.

(16) Let a  e Rn  and let R  >  0.   prove that if b  e B(a; T) then there ex- ists a real number S 持 0 such that

B(b; S) 己 B(a; T).