Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Test 1

1. Suppose a system of fish and sharks satisfies

   =   F(120 − 12S)

    =    S(−6 + 3F)

(a)  (5 points)  Find  the  interior  critical  point  (F*, S*)  and  linearize  by  substituting

F(t) = F* + εX(t)  S(t) = S* + εY(t) 

(b)  (7 points)  solve the linearization to  approximate F(t)  and S(t) when ε is small · Assume X(0) = 1，Y(0) = 0 ·

(c)  (4 points)  what is the approximate period of oscillation when ε is small？

·  ① is a population of worms that grows exponentially in the absence of other species. 

·  g is a population of beetles that grows logistically·

·  2 is a plant that grows logistically.  It has a mutually benefcial relationship with beetles which pollinate the plant , but is not efected by the other animals.

·  U is a bird that eats many things in the environment and grows logistically, but also eats worms 

·  w is a weasel that survives on eating birds and beetles.

write a Lotka-volterra system that could describe this.

3. Consider the competing species equations

   =   x(8 − 2x − y     )

dt(dy)    =   y(6 − x − y − z)

dt(dz)    =   z(9 −     4y − z)

(a)  (4 points)  what is the relationship between x, y, z in this system？ Give an example

of 3 species that would satisfy this relationship, and indicate why you chose those species.

(b)  (5 points)  Find the interior critical point and the Jacobian J  at this critical point by using that this is a kolmogorov system.  (Do not take any derivatives. )

(c)  (5 points)  The characteristic polynomial of J  is det(λI − J) = λ3 + 9λ2 + 6λ − 42 · Determine if it is possible for all species to coexist.

Test 3

4.  suppose a population u(x, t) of fsh living

the reaction-difusion eauation

 =  −

(a)  (4 points)  Find a phase-plane system

u(x, t) = U(x − ct) ·

in an infnite river (−∞ < x < ∞) satisfes

u3 + 3u2 − 2u.

for traveling wave solutions

(b)  (5 points)  sketch the nullclines and direction arrows of the phase-plane system.

(g)  (4 points)  Are there any physically relevant traveling waves for c < cmin ？Explain your reasoning for why or why not .