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1.  A population N(t) satisfies = Nf(N) where f is graphed below.

(a)  (7 points)  Find all equilibria for N.

(b)  (5 points)  Which equilibria are stable?

2.  Let be a 3-dimensional vector whose components are the population of frogs, aged 0,  1,  and  2 years. The population  is modeled by +1 = A.   Suppose  that  A  has eigenvalues λ1  = −2, λ2  = 2, λ3  = 3 with eigenvectors

(a)  (5 points)  Write down a general expression for xk .

(b)  (10 points)  Use  your  expression  to  find the  ratio  of frogs  of age  2 years to the number of frogs in the total population.

3.  Consider the nonlinear difference equation

Nk+1  = Nk (3 − Nk − 1 ).

(a)  (5 points)  Solve for the positive equilibrium L > 0.

(b)  (7 points)  Find the linearized equation around L by setting Nk  = L + εxk .

(c)  (7 points)  Find the general solution for xk .  Is the equilibrium stable?

4.  Consider the Predator-Prey system.

(a)  (10 points)  Write F = 2 + εx(t) and S = 1 + εy(t) and derive linearized equations for x and y.

(b)  (10 points)  Solve for x(t), and show that the equilibrium is stable.

5.  (10 points)  The following Predator-Prey system has periodic solutions for F (t) and S(t).

Show that the average value of F (t) over its period is equal to its equilibrium value.

6.  (10 points)  We model populations K(t), F (t), and W (t) of Krill, Fish, and Whales.

•  Krill compete with fish for resources and have unlimited growth if no fish or whales are present.

•  Fish compete with whales for resources and have logistic growth if no krill or fish are present.

•  Whales eat krill but do not eat fish.

Write a system of equations that models these populations.

7.  A competing species equation

(a)  (12 points)  Use Nullclines to sketch the general solution in the phase plane.

(b)  (3 points)  Sketch y(t) if x(0) = 1 and y(0) = 2.