Math 442: Intro to Partial Differential Equations Homework 4

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Homework 4

MATH 442:  INTRO TO  PARTIAL  DIFFERENTIAL  EQUATIONS

(Exercises are taken from paTtial DifeTential Equations An IntToduction,  second Edition  by walter A. strauss.)

1. Let u be a solution to

ut  = iuxxx + uxx

with initial condition u(x, 0) = φ(x) on the upper half plane.  show that

Repeat the problem for a periodic solution.

2. Exercise &1.3 #6. consider heat low in along circular cylinder where the temperature depends only on t and on the distance T to the axis of the cylinder.  Here r =  is the cylindrical coordinate. From the three-dimensional heat equation derive the equation ut = k(urr + ur/r).

3.  Exercise &2.4 井9.  (May use any method).  solve the difusion equation ut  = kuxx  with the initial condition u(x, O)  =  x2   by  the  following  special  method.   First  show  that  uxxx   satisies  the  difusion equation with oeTO  initial condition.  Therefore, by uniqueness, uxxx  = O.  Integrating this result thrice, obtain u(x, t) = A(t)x2 + B(t)x + C(t).  Finally, it,s easy to solve for A,  B,  and C by plugging into the original problem.


2023-07-24