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Homework 3

MATH 442:  INTRO TO  PARTIAL  DIFFERENTIAL  EQUATIONS

(Exercises are taken from paTtial DifeTential Equations An IntToduction, Second Edition by walter A. strauss.)

1. Exercise &3.4 #15. Derive the solution of the wave equation in a inite interval with inhomogeneous boundary conditions v(O, t) = h(t), v(l, t) = k(t), and with φ = ψ = f = 0.  can we do this with the operator method-if you have questions-offce hour.  Maybe we have to use the Dirichlet part now？

2.  Exercise &3.4 #7. Let A be a positive-deinite n x n matrix. Let

(a)    show that this series of matrices converges uniformly for bounded  t and its sum s(t) solves the problem  S''(t) + A2S(t) = 0, S(0) = 0, S' (0) = I, where I is the identity matrix. Therefore, it makes sense to denote S(t) as A-1 sintA and to denote its derivative S' (t) as cos(tA).

(b)   show that the solution of (13) is (14).

3. Exercise &5.2 #8.

(a) prove that diferentiation switches even functions to odd ones, and odd functions to even ones.

(b) prove the same for integration provided that we ignore the constant of integration.

4.  Exercise &5.2 #9. Let φ(x) be a function of period π.  If for all x, ind the odd coeffcients.