Question 1 (5 marks).

show that the sequence ①n  = 32(1)π  (n = 1, 2, . . .) converges quadratically as n y 必.

Question 2 (15 marks in total).

Consider the ixed point iteration scheme

pn+1  = g (pn ) .

(2-a) (5 marks). state the ixed point iteration theorem, i.e., the theory for ensuring convergence of the above scheme to ixed point p in the interval [a, b].

(2-b) (5 marks). Describe the upper bound for the absolute error |pn — a| .

(2-c) (5 marks). It is known that if g(①) e Ck ([a, b]) for k > 2 and g([a, b]) 军 [a, b]

g、(p) = . . . = g (k-1) (p) = 0,

then ①n converges to aixed point with kth order of convergence.  Consider the following iteration for calculating a ixed point T1/3  :

①n+1  = a①n  + b + c

Assuming that this iterative scheme converges as ①0  su伍ciently close to T1/3, determine the values of a,b,c such that the method has cubic convergence rate.

Question 3 (2O marks).

consider g = sin ①,

(3-a) (5 marks). Obtain the Lagrange interpolating polynomial from the data

sinO = O,

sin  =  ,

sin  =  ,

sin  = 1

and use it to evaluate sin

(3-b) (5 marks).  Find the error bound of the Lagrange interpolating polynomial at ① =   .  compare the error bound with the actual error at the point ① =  .

(3-c) (1O marks).  Let pn  be the degree n Lagrange interpolating polynomial of cos(2①) on the uniformly spaced nodes ①0 , . . .  , ①n  on  [O, 1] with ①j  = jh, h = 1/n. prove that

0三(m)三(x)1 |cos(2①) — pn (①)| 一 O    as n 一 钝.

Question 4 (1O marks).

(4-a) (5 marks). use the most accurate three-point endpoint formula to determine the missing value f、(1.4) in the following table (keep 4 signiicant digits):

(4-b) (5 marks). The data in part (4-a) were taken from the function f (①) = e2从.  Compute the actual error at ① = 1.4 and the error bound using the error formula.

Question 5 (15 marks). Consider the deinite integral 11(3) ln（从2）d从.

(5-a) (5 marks).  Approximate this integral using the composite simpson,s rule with 5 equal spaced nodes 从0 , 从1 ,  . . . , 从4 .

(5-b) (5 marks). Give a rigorous theoretical upper bound on the absolute error in your answer to (5-a).

(5-c)  (5 marks).   Based on the upper bound obtained in  (5-b),  determine theoretical values of n and  h required to obtain an approximation accurate to within 10-4  using the composite simpson,s rule.

Question 6 (15 marks).

Given the initial-value problem

g、= g + t2 et ,     1 三 t 三 2,    g(1) = O,

with exact solution g(t) = t2 (et  - e) :

(6-a) (5 marks). use Euler,s method with h = O.1 to approximate the values of g at t = 1.5 and t = 1.6.

(6-b) (5 marks). use the answers generated in part (6-a) and linear interpolation to approximate g(1.55).

(6-c)  (5 marks).  Based on the theoretical error estimate, compute the largest value of h to ensure that |gi - wi | 三 O.5 (the answer should be in the form x.xxxx).

Question 7 (10 marks).

Let

（  2    4

A =  '   4   10

( 6   16

6  )

16    '

28 )

be a given matrix in R3收3 .

(7-a) (5 marks). Find a lower triangular matrix L and a diagonal matrix D such that A = LDL」 .

(7-b) (5 marks).  Compute an approximation to the largest eigenvalue of A by performing two steps of the power method with ①0  = [1, 1, 1]T . keep at least 4 decimal places in calculations.

Question 8 (1O marks).

( ,

consider the following linear system:〈

,

从1 + 从2 + 3从3  = 5

从1 + 3从2 + 从3  = 2

3从1 + 从2 + 从3  = —4