Question 1 (5 marks).

show that the bisection method on an interval [a, b] gives a sequence with an error bound that converges at a linear rate to O .

Question 2 (15 marks).

(2-a) (5 marks).  show that when Newton,s method is applied to the equation ①2 - 2 = O, the resulting iteration function is g(①) = ① + 从(2) ).

(2-b) (5 marks).  Apply the developed Newton,s method to ind c4  using co  = 1.  (keep at least 9 decimal places in calculations)

(2-c) (5 marks). As an approximation to（2, how many correct decimal places does c4  have ？

Question 3 (15 marks).

some exact values of ^从 are tabulated here:

(3-a) (5 marks). Construct a degree-2 Lagrange interpolating polynomial P (从) that interpolates these data.

(3-b) (5 marks). use your interpolant from (a) to approximate ^3. Give a theoretical upper bound on the absolute error in this approximation. show that the actual absolute error is less than your upper bound.

(3-c) (5 marks). If P (从) is used to approximate^从 for 从 G [1, 4], the absolute error will depend on 从.  Give a theoretical upper bound (independent of 从) on the absolute error.

Question 4 (1o marks).

The Trapezoidal rule applied to102 f (从)d从 gives the value 4 , and Simpson,s rule gives the value 2.  Find the value f (1).

Question 5 (1o marks).

Find the constants c0 , c1  and 从1  such that the quadrature formula

l03 f (从)d从 = c0 f (o) + c1 f (从1 )

is exact for polynomials of as high a degree as possible.

Question 6 (1O marks).

(6-a) (5 marks). use Euler,s method with h = O.5 for the IVP

g、= g - t2 + 1

for t E [O）2] with initial value g(O) = O.5.

(6-b) (5 marks).  Compute the theoretical largest value of h to ensure that |gi -wi |  参 O.5 (the answer should be in the form x.xxxx).

Question 7 (15 marks).

(7-a) (5 marks). Consider the following matrix A, whose LU factorization we wish to compute using Gaussian elimination:

l 4 A =  '  6 [ O

-8

5

-1O

1  」

7    '

-3 l

what will be the value of the initial pivot element if (no explanation required)

- No pivoting is used？

- Partial pivoting is used？

- Full pivoting is used？

(7-b) (5 marks). state one deining property of a singular square matrix A.  suppose that the linear system A从 = b has two distinct solutions 从 and g. use the property you gave to prove that A must be singular.

(7-c) (5 marks).  Describe an advantage of the Gauss-seidel algorithm over the Jacobi algorithm and one disadvantage.

Question 8 (2O marks).

Let A = Rm 根m . Recall that we say that A is symmetric positive deinite if A is symmetric, and vT Av 持 O for every nonzero vector v = Rm 根1 .

(8-a) (5 marks).  suppose that A = X TX for some nonsingular square matrix X .  Prove that A is symmetric positive deinite.

(8-b)(5 marks).  suppose A has cholesky decomposition A = RTR where R is an upper triangular matrix,

and also A =R(教)TDR(教), where D is a diagonal matrix with positive diagonal entries.  show that R = ^D R(教) .

(8-c) (5 marks). compute the cholesky factorization of the matrix A =  '   O    4 [  1    2

1 」

2  '  .

3 l

l  1   O   1 」

(8-d) (5 marks). For the matrix A =  '   O    4    2   ' , compute an approximation to the largest eigenvalue by

[  1   2   3 l

performing two steps of the power method with ①0  = [1, 1, 1]T .