Checklist for First Midterm

The list is not meant to be comprehensive but if you can do all of the following you should do very well on the exam.

✷ 1. Use a symmetry argument to determine the direction of the electric field.

✷ 2.  Determine the direction of the electric field by breaking up the source into pairs of symmetrically placed charges.

✷ 3.  Use Coulomb’s law to write a vector expression for the electric field due to a point charge. By vector expression I mean using unit vectors.

✷ 4. Use Coulomb’s law to write a vector expression for the electric field due to an infinites- imal segment of charge.

✷ 5. Use superposition to add the electric field vectors due to several point charges.

✷ 6. Use superposition and integration to determine the electric field of linear distributions of charges such as lines, rings and circular arcs.

✷ 7.  For simple charge distributions be able to guess the form of the electric field at large and small distances.

✷ 8. Make simple approximations such as these.

(1)

provided a  ≫ b.   In  case  of  more  complicated  approximations  we will supply you with necessary formulae.

✷ 9. Be able to determine the charge enclosed by a Gaussian surface.

✷ 10.  Be able to evaluate the flux through a Gaussian surface.  This involves being able to determine the direction of the outward normal unit vector n(ˆ) on the Gaussian surface; knowing that if the electric field lies in the plane of a surface, then the flux through that surface is zero; and knowing that ifn(ˆ) · E is constant over a surface, then the flux is just the area of that surface times the constant value of n(ˆ) · E(ˆ) .

1. Electrostatics of molecular hydrogen. A pair of charges, each with positive charge +q, are placed on the y-axis, symmetrically about the origin, separated by a distance 2a from each other, as shown in fig 1.

(a) [15 points] (i) What is the direction of the electric field at the point marked A in fig 1?

(ii) Determine the electric field at A. Give your answer in terms of q,ϵ0 ,x,a, i(ˆ) and j(ˆ).

(iii) What do you expect the electric field to be at large distances (for x ≫ a)?  Explain briefly (one or two sentences). Does your answer of part (ii) reduce to the expected result?

Useful approximation:

              (2)

2.  Complex ion. A complex ion consists of a central cation of charge +Q surrounded by four “ligands” of charge −q as shown in the figure 2.

(a) In what direction do you expect the electric field to point at the points P and R shown in the figure?

(b) Let S be a point on the z-axis an elevation z above the central cation.  In what direction do you expect the electric field to point at S?

(c) Determine the electric field at P.  Give your answer in terms of Q,q,ϵ0 ,a,x and the unit

vectors i(ˆ), j(ˆ) and k(ˆ) .

(d) What electric field do you expect at P if x ≫ a?  Does your result of part (c) simplify to the expected answer?

(e) Determine the electric field at S. Give your answer in terms of Q,q,ϵ0 ,a,z and the unit

vectors i(ˆ), j(ˆ) and k(ˆ) .

(f) What do you expect the electric field to be if S is far away from the complex ion, (i.e., z ≫ a)? Does your result of part (e) reduce to the expected result?

(3)

(d) [4 points] What form do you expect the electric field to have very far from the segment? Simplify your result of part (c) for r > ℓ .

(e) [4 points] A second identical segment is now placed parallel to the x-axis so that the two segments together form an L-shape as shown in the figure.  A is a point that lies at a distance ℓ from both segments. Using your result of part (b) write an expression for the electric field at the point A. Give your answer in terms of ϵ0 ,λ,ℓ,r and the unit vectors i(ˆ) and j(ˆ).

4. A split ring.

Figure 4:  (Left panel) A semi-circular ring with positive charge.  (Right panel) Two semi- circular rings. The upper ring (dashed line) is positively charged; the lower ring (solid line) is negatively charged.

(a) [10 points] A semi-circular ring of radius a is uniformly charged with charge per unit length λ. Assume λ > 0.

(i) In what direction does the electric field point at the center of the ring?  Be specific about the direction. For example if it is vertical, is it up or down? If horizontal, left or right?

(ii) Consider an infinitesimal segment that subtends an angle dθ and is located at an angle θ relative to the x-axis.  What is the electric field at the origin due to this infinitesimal

segment? Give your answer in terms of ϵ0 ,λ,dθ,a,θ, i(ˆ) andj(ˆ).

(iii) Integrate your result of part (ii) to obtain the total electric field at the center of the circle. Helpful integrals: 'dθ sinθ = −cosθ and'dθ cosθ = sinθ .

(b) [10 points] Now suppose that a second semi-circular ring is placed below the first one as shown in the figure.  Suppose that the second ring has a negative charge with charge density −λ .

(i) What is the direction of the electric field at the origin due to the second ring?

(ii) Write an expression for the electric field at the origin due to the entire second ring.  Give your answer in terms of ϵ0 ,λ,a, i(ˆ) andj(ˆ).  [Hint:  No integration is needed.  You may borrow

freely from your results of part (a)].

(iii) What is the total electric field at the origin due to both rings?