1. [1 point] Suppose A is a square matrix with n rows (where n > 1) and that the rank of A is n _ 1. Which of the following statements is then necessarily true?

(a) A is not diagonalizable

(b) The columns of A are linearly independent

(c) 1 is an eigenvalue of A

(d) The determinant of A is equal to 1 (e) A has an eigenvalue λ = 0.

(f) The reduced row echelon form of A is equal to the identity matrix Ia

Solution. If the rank is less than the size of the matrix then it is not invertible. This is turn is equivalent to det(A) = 0. Now it follows that det(A _ 0I) = det(A) = 0, which says that 0 is an eigenvalue of A.

┌ 1   0   2┐ ┌x┐      ┌3┐

2. [1 point] Consider the system '' ''z(y)'' =  ''7(4)''. For which value(s) of a does the system have infinitely many solutions?

(a) a = 3

(b) a _1

(c) a = _1

(d) a = 5

(e) a 3

(f) No such value of a exists.

Solution. Note first that if a = 0 then the system has a unique solution (use row- reduction to see that). Assuming a 0, we get the following:

┌ 1   0   2   I   3┐      ┌ 1   0       2        I       3 ┐

'a   1   1   I   4 ' ~  '0   1   1 _ 2a   I   4 _ 3a '

The system has rank 2 when the second and third row are scalar multiples of each other; in that case the system has infinitely many solutions. This happens when 1 _ 2a = 3 and 4 _ 3a = 7, which amounts to a = _1.

3. [1 point] Suppose A is a 1000x999 matrix with rank 998, and that is a column vector. What can we conclude about the system Ax_ = ?

(a) The system has infinitely many solutions and there will be one parameters. (b) The system has infinitely many solutions and there will be two parameters.

(c) The system has infinitely many solutions and there will be 998 parameters.

(d) The system has a unique solution.

(e) The system is inconsistent.

(f) None of the above.

Solution. The system has 1000 equations and 999 variables. The REF of A will have one column without a leading one; the corresponding variable in the system will then be free. Thus, if the system is consistent, we would have one parameter and infinitely many solutions. However, we don’t know whether the system is consistent.

4. [1 point] Suppose A is an nxn matrix whose row echelon form has leading 1s in every column except for the last. Which statement about the set of columns of A is correct?

(a) It spans Ra  but is not a basis.

(b) It is linearly independent but is not a basis.

(c) It is a basis for Ra , but it is not linearly independent.

(d) It is a basis for Ra , but it doesn’t span Ra .

(e) It spans a proper subspace of Ra  but is not a basis for that subspace. (f) It is linearly independent, but it spans a proper subspace of Ra .

Solution. The first n _ 1 columns of A are linearly independent and span a proper subspace of Ra  (indeed, form a basis for that subspace). However, adding the last column makes the set of columns linearly dependent, and while it still spans that same subspace, is no longer a basis.

(a) W is a subspace of M3,3  of dimension 0

(b) W is a subspace of M3,3  of dimension 1

(c) W is a subspace of M3,3  of dimension 2

(d) W is a subspace of M3,3  of dimension 3

(e) W is a subspace of M3,3  of dimension 4

(f) W is not a subspace of M3,3 .

┌a   d   g ┐      ┌ _a   _b    _c ┐

Solution. The condition says that  ''b   e   h'' =  ''_d   _e   _f''.  Comparing entries

gives a = e = i = 0, and d = _b, g = _c, h = _f . That means that any matrix satisfying

┌0   _b   _c ┐

the condition has the form ''.  That means that the subspace consisting of

these matrices is spanned by

┌0   _1   0┐   ┌0   0   _1┐   ┌0   0    0 ┐

'1     0     0 '   '0   0     0  '   '0   0    _ 1 '

'0    0    0' , '1   0    0 ' , '0   1    0 ' .

As these three matrices are linearly independent, the subspace has dimension 3.

10. [1 point] Consider the following polynomials in P3  (the vector space of polynomials of degree at most 3):  p1   = x2  _ 2, p2   = x3  + x2  + 3x + 7, p3   = x3  _ 2x2  + 3x + 1 and p4  = x3 _ 5x2 + 3x + 3. Let U = Span{p1 , p2 , p3 , p4 }. What is the dimension of U?

(a) 0

(b) 1

(c) 2

(d) 3

(e) 4

(f) 5

Solution.

Use the fact that P3  is R4  in disguise, and use the standard test there:

┌ 0    1    1      1 ┐     ┌ 1   1   _2   _5┐     ┌ 1   1    _2     _5 ┐

' 1    1   _2   _5 '     '0   1    1      1  '     '0   1     1        1   '

' 0    3    3      3  '     '0   9   _3   _7 '     '0   0   _12   _16 '

'                       '     '                     '     '                        '

Thus there are three independent vectors, hence the dimension is 3.

11. [1 point] Which of the following is a basis for the subspace {(北, y, z, w)I3北 _ 2y +z = 5w} of R4 ?

(a) {(3, _2, 1, _5)}

(b) {(1, 1, 0, 0)}

(c) {(3, 0, 0, 0), (0, _2, 0, 0), (0, 0, 1, 0)}

(d) {(3, 0, 0, 0), (0, _2, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, _5)}

(e) {2, 3, 0, 0), (1, 0, _3, 0), (5, 0, 0, 3)}

(f) None of the above.

Solution. The subspace in question is the set of solutions to the homogeneous system

3北 _ 2y + z _ 5w = 0.  This system has 3 parameters and one leading variable.  The

w = s ┌ 北 ┐        ┌ ┐ ┌ _ ┐       ┌ ┐

solutions are thus ,!, , or z(y) = r 0(1) + t 1(0) + s 0(0) . 北 = r _ t + s       'w'        '0'       ' 0 '       ' 1'

Now the three basic solutions form a basis for the subspace.

12. [1 point] Consider a linear transformation T : M2,2  → M2,2  satisfying

T u 1(1)   2(0)￥ =  u1(2)   0(3)￥ , T u1(0)   1(2)￥ =  u0(4)   0(0)￥ , T u4(2)   4(1)￥ =  u1(1)   1(2)￥ . What is T ￥ ?

u ￥

(b)  u2(7)   1(5)￥

(c) ￥

(d) None of the above.

┌ 1┐ ┌ 2┐

'0 '      '3 '

Solution. Use the fact that M2 ,2  is R4  in disguise.  Then it becomes:  T  '(')  '(') =

'1 '       '1 '

'2'      '0'

┌0┐ ┌4┐      ┌ 2┐     ┌ 1┐                    ┌ 3 ┐

'2 '      '0 '      '1 '      '2 '                     '_3 '

T  '(')  '(') = T  '(')  '(') = What is T  '(')     '(')?  However, the vector (3 , _3, 5, 4) is not

'1 '      '0 '       '4 '      '1 '                       ' 5  '

' '     ' '      ' '     ' '                    '    '

a linear combination of the vectors given, so there is not enough information to answer the question.

13. [1 point] For which value(s) of b is (5, b, 2, _2) in the span of

{(1, 0, 2, 0), (1, 1, 0, 3), (1, 2, _1, 1), (1, 1, 1, _2)}?

(a) b = 2

(b) b 2

(c) b = 6

(d) b 6

(e) For all values of b.

(f) For no value of b.

Solution. To determine whether a given vector is in the span of a set of vectors, solve the corresponding linear system:

┌ 1   1    1      1     I    5 ┐     ┌ 1   1   1    1     I    5 ┐     ┌ 1   1    1      1     I        5 ┐

'(')0   1    2      1     I     b  '(')     '(')0   1   2     1     I     b  '(')     '(')0   1    2      1     I         b      '(')

'(')2   0   _1    1     I    2 0   2   3    1     I    8 0   0   _1   _1   I    8 _ 2b  '(') '0   3    1    _2   I   _2'     '0   3   1   _2   I   _2'     '0   0   _5   _5   I   _2 _ 3b'

We see that the system is consistent if and only if 5(8 _ 2b) = _2 _ 3b, that is, when 42 = 7b, i.e., when b = 6. Thus for b = 6 the given vector is in the span. For any other value of b the system is inconsistent, hence the given vector is not in the span.

14. [1 point] Consider the following subsets of the vector space V = F[R, R] of functions from the reals to the reals. Which of these are subspaces? Give a one-line motivation for each.

U1     =   {f e V If (x) 0, for all x}

U2     =   {f e V If (12) > 0}

U3     =   {f e V If (2) + f (3) = 0}

U4     =   {f e V If (x) = _2f (_x) for all x}

Solution. U1  is not a subspace because it does not contain the zero function f (x) = 0. U2  is not a subspace because it’s not closed under scalar multiplication. For example the constant function f (x) = 12 is in U2 , but _f is not.

U3  and U4  are subspaces, because they are described using linear equations.

15. [2 points] For each of the following matrices, state whether it is diagonalizable. Give a

Solution. A has eigenvalues 0, 1, but for λ = 1, the matrix A _ I has rank 2 and therefore only one basic eigenvector. B has eigenvalue 0 but only one basic eigenvector. C is diagonalizable; it’s easy to see that (1, _1, 0), (1, 0, _1), (1, 1, 1) are three independent eigenvectors. D has three distinct eigenvalues and is therefore diagonalizable.

16. [2 points] Find the matrix for the linear transformation T : R3  → R3 which first performs a reflection in the plane z = 0, and then a rotation around the x-axis, counterclockwise by an angle of .

Solution. Test  on the  standard basis vectors.   T (1, 0, 0)  =  (1, 0, 0), T (0, 1, 0)  =

(0, _ ^2, ^2), T (0, 0, 1) = (0, ^2, ^2). Thus the matrix is

┌ 1 0 0 ┐

'0   _2(1)^2 2(1)^2 '

┌ 1    0      2 ┐

17. [5 points] Consider the matrix A =  '1   _2     3  '

(a) Calculate the determinant of A, and use this to determine for which values of a the matrix A is invertible.

(b) Using the Gauss-Jordan algorithm, find the inverse of A.

Solution. Expand along the first row: det(A) = 1(_2 . _1 _ 3a) + 2(1a) = 2 _ a. Thus for a 2, the matrix is invertible.

┌ 1    0      2

'1   _2    3

'0    a    _1

Now if a = 0 we continue

┌ 1   0     2 I

'0    1    _2(1)      I

'0   0     1     I