T = {f ∈ 于 | f (0) = 0}

U = {f ∈ 于 | f (1) = f (0)}

V = {f ∈ 于 | f (1) = 一1}

mark  (X)  the  correct  answer:

S and T

S and U

S and V

T and U

T and V

U and V

: S is not a subspace: Take f(x) = x + 2 and g(x) = x _ 2. Then both f, g e S . We have (f + g)(x) = 2x. So that f + g S .

V is not a subspace: Take f(x) = _x and g(x) = _1. Then both f, g e V but f + g V .

2. F13fs,  Q3: Suppose {u, v, w} is a set of vectors in a vector space V .

Which of the following statements is equivalent to                                                            (1)

”{u, v, w} is linearly independent”?

I. None of the vectors u, v or w is a linear combination of the other vectors in {u, v, w}.

II. None of the vectors u, v or w is a multiple of any other single vector in {u, v, w}.

III. If a, b, c are scalars then au + bv + cw = 0 implies a = b = c = 0.

IV. If a = b = c = 0, then au + bv + cw = 0.

mark (X)  the  correct  answer:

A I. and II.

I. and III.

I. and IV.

D II. and III.

II. and IV.

F III. and IV.

B :  The definition of linearly independent set is equivalent to I. or to III.

5. F11fs,  Q7: The dimension of the subspace U = {A ∈ M3×3 (R) | AT  = 一A} is              (1)

mark (X)  the  correct  answer:

A 0

B 2

C 3

D 4

E 6

F 9

C

U = { ╱ 0_a · _b

a 0 _c

·(、) | a, b, c e R}.

6. F11fs,  Q4: Suppose A =     !(、) . Which one of the following statements is true?  (1)

mark  (X)  the  correct  answer:

A is not invertible.

The third row of A_1  is (一1, 一1, 1).

The second row of A_1  is (1, 2, 一1).

The first row of A_1  is (2, 0, 一1).

The second column of A_1  is (0, 2, 一1)T .

All of B, C, D, E are true.

: The third row of A is a sum of the first two.  So the rows are linearly dependent, hence, A is not invertible

If det(A) = 3, find the determinant of the matrix ﹔ 一(一) 2(2)b(a)、

( 4i    c    f 一 2c!.

mark  (X)  the  correct  answer:

6

-6

12

-12

24

-24

: perform the row and column operations to reduce it to A.

10. F14fs,  Q10: Let 于 = {f | f : R → R} denote the vector space of real-valued functions.   Which of the following are linearly independent subsets in 于?                                         (1)

S = {sin x, cos x}

T = {1, sin x, cos x}

U = {1, sin2 x, cos2 x}

V = {1, 2 sin2 x, 3 cos2 x}

mark  (X)  the  correct  answer:

S and T

S and U

S and V

T and U

T and V

U and V

: We have sin2 x + cos2 x = 1.

11. F13fs,  Q11: (3 points) Let k ∈ R and consider the linear system in the unknowns x, y, z:

『 kx + 2y + z = 0

│y + z = 0

『(3z = 0

Find all values of k for which this system has

(a) a unique solution,

(b) infinitely many solutions,

(c) no solutions.

Solution:

12. F14fs, Q12:  (3 points) Let v1 = (1, 0, 0, 一1), v2 = (1, 一1, 0, 0), v3 = (1, 0, 1, 0). Consider the subspace U = Span{v1 , v2 , v3 } ∈ R4 . (a) Explain (you may refer to results learned in class) why {v1 , v2 , v3 } is a basis of U .   (1) Solution: It is enough to show that {v1 , v2 , v3 } are linearly independent. We have rank 0一01 一001!(、) = rank 0一01 一111!(、) = 3 which is the same as the number of vectors. (b) Use the Gram-Schmidt algorithm to find an orthogonal basis for U .                          (1)

The orthogonal basis is: write it as row vectors

Solution:

Set u1  = v1 ,

u2  = v2 一 u1  = (1, 一1, 0, 0) 一 (1, 0, 0, 一1) = ( , 一1, 0, ).

u3  = v3 一 u1 一 u2  =

(1, 0, 1, 0) 一 (1, 0, 0, 一1) 一 ( , 一1, 0, ) =

(1, 0, 1, 0) 一 ( , 0, 0, 一 ) 一 ( , 一 , 0, ) = ( , , 1, )

Hence, {(1, 0, 0, 一1), ( , 一1, 0, ), ( , , 1, )} is an orthogonal basis of U .

(c) Find the best approximation by a vector in U to the vector (0, 1, 1, 1).                      (1)

The best approximation is: write it as a row vector

Solution:

pTojU (0, 1, 1, 1) =

(1, 0, 0, 一1) + ( , 一1, 0, ) + ( , , 1, ) =

(1, 0, 0, 一1) + ( , 一1, 0, ) + ( , , 1, ) =

一 (1, 0, 0, 一1) 一 ( , 一1, 0, ) + ( , , 1, ) = (一 , , , ) = (一1, 3, 5, 3).

13. F15fs,  Q13:  (4 points) Let A = ﹔ 1(1)   3(0) 一12、

(1   0     4 !.

(a) Compute and factorize the characteristic polynomial of A to show that the only eigenvalues of A are 2 and 3.

The polynomial is:

det(A 一 λI) = det 1 一11 λ 3 0一0 λ 4一1一2   (3 一 λ) det ╱ 11(一) λ 4一(一)2λ、=

(3 一 λ) │(1 一 λ)(4 一 λ) + 2/ = (3 一 λ)(4 一 5λ + λ2 + 2) =

(3 一 λ)(λ 一 3)(λ 一 2) = 一(λ 一 3)2 (λ 一 2).

(b) Find a basis of the eigenspace corresponding to the eigenvalue 2.                              (1)

(c) Find a basis of the eigenspace corresponding to the eigenvalue 3.                               (1)

E3  = Null(A 一 3I) = Null 一112 一112!(、) = Null !(、) = {(一t, s, t) | s, t ∈ R}

So that {(一1, 0, 1), (0, 1, 0)} is a basis for E3 .

(d) Find an invertible matrix P and a diagonal matrix D such that P_1 AP = D .          (1)

P =

D =

Solution:

Columns of the matrix P consist of bases of the respective eigenspaces P = ﹔ 一12 一01