Which of the following statements are true?                                                                      (1)

I. If rank(A) = 1, there is just one parameter in the general solution of the system Ax = 0

II. If rank(A) = 1, there are n - 1 parameters in the general solution of the system Ax = 0

III. If A is invertible, the homogeneous system Ax = 0 has infinitely many solutions

IV. If the system Ax = 0 has infinitely many solutions, then rank(A) < n

mark (X)  the  correct  answer:

A I. only

B II. only

C I. and III.

D II. and III.

E I. and IV.

F II. and IV.

Solution:   Using the  formula  rank(A) + #parameters  =  #columns,  we  obtain that  if rank(A) = 1, then #parameters = n - 1, so II. is correct.  Also IV. is correct by the same formula. Hence, the correct answer is .

mark (X)  the  correct  answer:

A ^2(cos(-7π/12) + i sin(-7π/12))

B ^2(cos(5π/12) + i sin(5π/12))

C ^2(cos(-π/12) + i sin(-π/12))

^2(cos(π/12) + i sin(π/12))

E ^2(cos(-5π/12) + i sin(-5π/12))

F ^2(cos(11π/12) + i sin(11π/12))

Solution: We have

1 - ^3i - i ei(-T/3)

i - 1        -2(1)  +2(1)i 1^2 ei(3T/4)

= ^2ei(-T/3-3T/4)  = ^2ei(-13T/12)  = ^2ei(11T/12)

The correct answer is F .

7. For a non-homogeneous system of 13 equations in 15 unknowns, answer the following three questions (Yes/No):       (1)

● Can the system be inconsistent?

● Can the system have a unique solution?

● Can the system have infinitely many solutions?

mark (X)  the  correct  answer:

A Yes, Yes, Yes

B Yes, Yes, No

C No, Yes, Yes

D Yes, No, Yes

E No, No, Yes

F Yes, No, No

Solution: The answers to the first and the third questions are YES.

If system has a unique solution, then the number of leading ones in its REF (< 13) must

coincide to the number of unknowns (15).

So the correct answer is D .

8. Let A be a square n × n matrix.

Which one of the statements below is not equivalent to the statement

“The columns of A are linearly independent”

mark  (X)  the  correct  answer:

The rows of A are linearly independent

Tank(A) = n

det(A) 1

The rows of A form a basis of Rn

The homogeneous system Ax = 0 has a unique solution

A is invertible

Solution: The correct answer is      .

9. Let A = .(、) for some numbers a, b, c, d, e, f, g, h, i be such that det(A) = 2.

Using the elementary row/column operations compute the determinant of the matrix

Solution:  We apply elementary row operations to the matrix A:  First, we switch the first and the second rows (the determinant changes its sign). Next, we multiply the first row by 3, we add to the second row the third row multiplied by 5 and, finally, we multiply the third row by -2.  As a result we get a matrix of determinant 12 which is the transposed to the one in question.

The correct answer is .

10. The vectors u1  = (1, -1, 2), u2  = (-5, -1, 2), and u3  = (0, 2, 1) form an orthogonal basis of R3 .  So that any vector v e R3  can be expressed in a unique way as a linear combination v = a1u1  + a2u2  + a3u3 , where a1 , a2 , a3   e R are coordinates of v with respect to the basis {u1 , u2 , u3 }. Find the coordinate a2  for v = (1, 0, 1).                                                              (1)

mark  (X)  the  correct  answer:

B

C

E

F

Solution: We have

a2  =            =       = -

So the correct answer is      .

(a) Find a basis for W .

ANSWER:

Solution: W = Null(A), where A = (0 1  - 1  - 1). We obtain

W = {(r, s + t, s, t) e R4  l r, s, t e R},

hence {(0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 0)} is a basis for W .

(b) Use the Gram-Schmidt algorithm to find an orthogonal basis for W .                         (1)

ANSWER:

Solution: {(0, 1, 1, 0), (0, 1, -1, 2), (1, 0, 0, 0)} is an orthogonal basis of W .

(c) Find the best approximation of (0, 1, 1, 1) by a vector in W .

ANSWER:

Solution: pTojW (0, 1, 1, 1) = (0, 4/3, 2/3, 2/3).

13. Let A = ╱

( 1       1

(a) Find the characteristic polynomial of A.

ANSWER:

Solution:

det(A - λI) = -1 -11 λ -1 1-1 λ -1 11- λ.(、) = -(1 + λ)3 + 1 + 1 + 3(1 + λ)

= -λ3 - 3λ2 + 4 = (λ + 2)2 (1 - λ)

(b) Using the characteristic polynomial explain why the eigenvalues of A are -2 and 1. (1/2)

Solution: The roots of the characteristic polynomial that are -2 and 1 are the eigenvalues of A.

(c) Find a basis of the eigenspace E-2  = {v e R3  l Av = -2v}.                                        (1)

ANSWER:

Solution:

E-2  = ker(A + 2I) = ker .(、) = ker .(、) = {(-s - t, s, t) l s, t e R}

So that {(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)} is a basis for E-2 .

(d) Find a basis of the eigenspace E1  = {v e R3  l Av = v}.

ANSWER:

Solution:

11-2.(、) = {(s, s, s) l s e R}

So that {(1, 1, 1)} is a basis for E1 .

(e) Find an invertible matrix P and a diagonal matrix D such that P-1 AP = D .      (1/2)

ANSWER: P =

D =

Solution: P = ╱

( 0       1

.(、) and D = -002   0-02

.(、)

14. State whether each of the following is (always) true, or is (possibly) false, in the respective box. Provide the respective justification/example.

(a) If A is an 5×4 matrix and if a row echelon form of A has a row of zeros, then Tank(A) < 4

ANSWER (True/False):

Justification/example:

(Can have rank 4)

(b) The dimension of the null space of the 1 × 4 matrix (-1 0 1 2) is 3 ANSWER (True/False):

Justification/example:

(1/2)

(1/2)

(c) Let z1  and z2  be two complex numbers which are not real numbers. Then their product z1  . z2  can not be a real number.

ANSWER (True/False):

Justification/example:

(i . i = -1)

(1/2)

(1/2)

(d) The function T : R2  → R2  defined by T (x, y) = (x, x + y) is a linear transformation.

ANSWER (True/False):

Justification/example:

(1/2)

(1/2)

15. (BONUS question) Define a linear transformation T : R3  → R3  by T ( .(、)) = .(、)

(a) Find the standard matrix of T.

Solution: