1.  Consider the purely forward-looking NKPC, πt = βEtπt+1 + κy˜t, where πt and y˜t are inflation and the output gap, respectively.  Assume that β = 1 and κ = 0.05.  Also assume that y˜t follows a first-order autoregressive (AR(1)) process t = ρy˜t − 1 + εt, where ρ is the persistence parameter and εt  is the innovation to the output gap (i.e., the innovation process has zero expected value Etεt+k  = 0 for all k > 0).

(a)  Posit a solution for the model of the form πt = by y˜t and use the method of undetermined coefficients to solve for by .

(b)  Suppose that ρ = 0 so that output gap has zero persistence and there is a one-time — 1% shock to output gap at t = 1 (i.e., εt  goes back to its zero value thereafter).  Prior to this shock, the economy was at the steady-state with 3% inflation and zero output gap. Sketch the evolution of inflation and output gap over time, starting from t = 0 (steady state), t = 1, 2, ..., until the economy arrives back at the steady state.  (Hint:  There is no change in the steady state—all the variables will eventually go back to the old steady state.)

(c) How does the persistence of inflation compare to the persistence of the output gap? Why?   (Hint:  Persistence is defined as how long a variable tends to deviate from its steady-state value.)

(d)  Redo part (b) for ρ = 0.5 — that is, the output gap is somewhat persistent. Is inflation also more persistent in this case as compared to when ρ = 0? Why?

2.  Consider the following hybrid NKPK with β = 1: πt = γπt − 1 + (1 — γ)Etπt+1 + κy˜t . Assume that γ = 0.5, so that price-setting is equally backward- and forward-looking.  Assume that y˜t  follows a first-order autoregressive (AR(1)) process with ρ = 0.5 and slope of the hybrid NKPC is κ = 0.05.

(a) Without computing precise values, guess and draw the evolution of inflation and output gap over time under this hybrid NKPC. Is inflation more persistent under this hybrid NKPC than a purely forward-looking NKPC? Why or why not?