1.  Suppose that electronic parts arrive at a processing plant in accordance with a Poisson process with rate λ(> 0).  At a fixed terminal time T > 0, all parts are dispatched from the system. Now, in addition to the terminal dispatch time T, we wish to choose an intermediate time t e (0, T), at which all parts in the system are dispatched, so as to minimize the total expected waiting time of all parts until their dispatch.

(a) Describe, in detail, the distribution of the number of arrivals by the interme- diate time t, along with step-by-step justification.

(b)  Given that n parts arrive during the first interval (0, t), how are those n arrival times distributed on the interval (0, t)?

(c) Again, given that n parts arrive during the first interval (0, t), what is the ex- pected total waiting time of the n parts until their dispatch at the intermediate time t?

(d) What is the unconditional expected total waiting time of parts (which arrived before the intermediate time t) until those are dispatched at the intermediate time t?

(e) Describe, in detail, the distribution of the number of arrivals in the second interval (t, T), along with step-by-step justification.

(f) What is the unconditional expected total waiting time of all parts (which have arrived in the whole interval (0, T))?

(g) What is the optimal intermediate dispatch time so as to minimize the total expected waiting time of all parts?

2. In an insurance company, the number of claims from 8am to 5pm is a nonhomoge- neous Poisson process with intensity function:

Suppose that the amount of each claim is uniformly distributed on  [$200, $800], the amounts of claims are independent and are also independent of the number of claims.

(a) Find the average amount of the total claims received in t hours from 8am.

(b) Let N be the number of claims with claim amount less than $500 by 11am. Find the distribution of N