1. In this problem, we consider a decision maker who must solve a two period investment problem.  In each period, exactly one of two risky investments will be available.  The decision maker has w > 0 dollars of investable wealth and a thrice continuously di§erentiable von Neumann -Morgenstern utility function u : R ! R satisfying u\ (x) > 0 and  u\\ (x) < 0 for all x 2 R.  In period i, the asset return is the realization of a nonnegative random variable Yi . Only asset i is available in period i and the investor must commit to his investment decisions before learning the realizations of the asset returns. Let x denote investment in period 1 and w - x denote investment in period 2 where x  0 and 0 < x < w .

Consequently, his optimization problem may be formulated as

maximize E[u(xY1 )+ u((w - x)Y2 )] subject to 0 < x < w:

Let x denote the optimal solution and assume that 0 < x < w: Suppose that Y1  %C  Y2  (i.e., Y1 dominates Y2 in the concave order) and that the the investorís

Arrow-Pratt measure of prudence is nonpositive for all wealth levels.  That is, u\\\ (x) < 0 for all x. Show that x  w - x:

Solution: This problem is essentially identical question 1 on the 2019 com- prehensive exam. Let

f(x) = E[u(xY1 )+ u((w - x)Y2 )]

and note that f\ (x) = 0: Next, note that f\\ (x) < 0 for all x. Therefore, to show that x   ; it su¢ces to show that f\ ( )  0: To see this note that

w                  w                     w                          w                          w

2                 2                    2                          2                         2

DeÖning '(y) = u\ ( y)y; note that ' concave will imply that

w                  w                          w

2                 2                         2

since Y1  %c Y2 :

Computing the derivatives, we obtain

'\ (y)   =   u\\ ( y) ( y) + u\ ( y)

'\\ (y)   =   u\\\ ( y)  y) + u\\ ( y)w

Consequently, f\ (  )  0 if

u\\\ ( y)  y) + u\\ ( y)w < 0:

2. Consider a pure exchange economy with L goods and n consumers. Agent i has utility function ui  : R ! R and endowment !i  2 R . Let N = f1;::;ng and deÖne the set F(N) of feasible allocations as

F(N) = f(xi )i2N  :X xi  <X !i  and xi  2 R for each i 2 N:

i2N             i2N

Various criteria have been proposed for identifying strongly Pareto optimal al- locations.   Let V (N) denote the set of attainable payo§s ssociated with this economy. Formally, let

V (N) = fv 2 Rn j(v1 ;::;vn ) = (u1 (x1 );:::;un (xn ) for some (xi )i2N  2 F(N)g:

Suppose that g  : Rn   ! R is strongly monotonic:  if x   y and x  y; then g(x) > g(y). Suppose that (v 1 ;::; vn ) is a solution to the optimization problem

maximize g(v1 ;:::;vn )

st (v1 ;:::;vn ) 2 V (N):

If (x1 ;::; xn ) 2 F(N) and (v 1 ;::; vn ) = (u1 (x1 );:::;un (xn ); show that the alloca- tion (x1 ;::; xn ) is strongly Pareto optimal.

Solution:  Suppose that (v 1 ;::; vn ) is a solution to the optimization prob- lem.  Suppose that (x1 ;::; xn ) 2 F(N) and (v 1 ;::; vn ) = (u1 (x1 );:::;un (xn ): If (x1 ;::; xn ) is not strongly Pareto optimal, then there exists a feasible allocation (y1 ;::;yn ) 2 F(N) such that ui (yi )  ui (xi ) for each i and ui* (yi* ) > ui* (xi* ) for some i  : Note that (u1 (y1 );:::;un (yn )) 2 V (N): Since g is strongly monotonic, it follows that

g(u1 (y1 );:::;un (yn )) > g(u1 (x1 );:::;un (xn )) = g(v 1 ;::; vn )

but this is impossible since (v 1 ;::; vn ) is a solution to the optimization problem.

3.   In this problem, we consider a decision maker who must solve a two period consumption-investment problem. The decision maker has w > 0 dollars to allocate for investment and immediate consumption. In addition, the decision maker has a twice continuously di§erentiable von Neumann -Morgenstern utility function u : R ! R satisfying u\ (x) > 0 and   u\\ (x) < 0 for all x 2 R.  Let w  x denote immediate consumption in period 1 and let x denote investment where 0  <  x  <  w .   In addition to the choice of x; the consumer will have additional income in period 1 determined as the realization of a nonnegative random variable.   In period  1,  this random variable is  Z .   In period 2,  the random return per dollar invested can be either Y1  or Y2 . The problem is made complicated by the fact that the individual must commit to his consumption decision w  x and investment decision x before learning the realizations of the random variables in each period. If the random second period return is Yi ; then his optimization problem may be formulated as

maximize E[u(w  x + Z)+ u(xYi )]

st  0 < x < w:

Let xi  denote the optimal solution when the second period return is Yi  and assume that 0 < xi  < w: Suppose that R(z) =   for all z . Furthermore, suppose that Y2  is a mean preserving spead of Y1 : In particular, suppose that