1. In this problem, we consider a problem in which a decision maker (DM) must compare the optimal values in two optimization problems in the presence of uncertainty.  The DMís payo§ depends on an action x chosen from a Önite set A and a nonnegative parameter y .  That is, the decision makerís payo§ is a function u : A  R+  ! R+ .  The value of the parameter is the realization of a random variable Y .  The DM does not observe the realization of Y but can observe the realization z of one of two random variables Z1  or Z2  where each Zi  is correlated with Y .  We interpret Z1  and Z2  as "experiments".  For each nonnegative number z, suppose that f(. jz) is a density function, i.e., f(yjz)  0 and R01 f(yjz)dy = 1.  Furthermore, suppose that z 7! f(yjz) is convex on R+ for each y e R+ : Upon observing z, the DM solves the problem

maximize  Z0 1 u(x;y)f(yjz)dy st x e A

For each z  0, let v(z) denote the optimal value for this problem.  For each experiment Zi ; we deÖne the DMís ex ante expected payo§ as

E [v(Zi )] :

If Z1  %C  Z2  (the concave order), show that experiment Z2  is more valuable than experiment Z1 ; i.e., show that E[v(Z1 )] < E[v(Z2 )]: You may assume that all relevant optimal solutions exist and that all relevant expectations exist and

are Önite.

Solution: It su¢ces to show that v : R+  ! R is convex. To see this, choose z1 ;z2  e R+  and let

xi  e arg x2A(max) Z0 1 u(x;y)f(yjzi )dy;i = 1; 2

Choose t e [0; 1], let z = tz1 + (1 一 t)z2  and choose

x e arg x2A(max) Z0 1 u(x;y)f(yjz)dy

Then

v(z)   =   Z0 1 u(x;y)f(yjz)dy

<   Z0 1 u(x;y)[tf(yjz1 ) + (1 一 t)f(yjz1 )]dy

=   t Z0 1 u(x;y)f(yjz1 )dy + (1 一 t) Z0 1 u(x;y)f(yjz2 )dy   <   t Z0 1 u(x1 ;y)f(yjz1 )dy + (1 一 t) Z0 1 u(x2 ;y)f(yjz2 )dy

=   tv(z1 ) + (1 一 t)v(z2 ):

2.  A private production economy with L goods and n consumers and m Örms is deÖned by the following objects:

(i) For each i, a utility function ui  : R ! R

(ii) For each i, an initial endowment !i  e R

(iii) For each i, a closed production set Yi    RL  satisfying R \ Yi  = f0g:

Let N = f1;::;ng and let S  N: An allocation (xi ;yi )i2S  is S-feasible if xi  e R and yi  e Yi  for each i e S and

X xi  = X !i +X yi :

i2S              i2S              i2S

An N-feasible allocation (xi ; yi )i2S  is a core allocation for the private pro- duction economy is there does not exist a coalition S  N and an S-feasible allocation (x;y)i2S  such that ui (x) > ui (xi ) for each i e S:

A Walrasian equilibrium for the private production economy is a collection (x1 ; y 1 );::; (xn ; yn ) and p e R such that yi  e Yi  for each i and

(i)

n                  n                  n

X xi  = X !i +Xyi

i=1              i=1              i=1

(ii) For each i, xi  solves the problem

maximize ui (xi ) st p . xi  < p . !i + p . yi  and xi  e R

(iii) For each i,

p . yi   p . yi  for all yi  e Yi :

Show that a Walrasian equilibrium allocation in a private production econ- omy is a core allocation.

Solution: Suppose that (x;y)i2S  satisÖes (a) x e R and y e Yi for each

i e S, (b) Pi2S x = Pi2S !i +Pi2S y and (c) ui (x) > ui (xi ) for each i e S .

Then for each i e S, it follows that

p . x > p . !i + p . yi

Therefore

p . x > p . !i + p . y

implying that

p . "i2S(X)x 一 i2S(X)!i 一 i2S(X)y# > 0

an impossibility.

3.  Consider an n player "generalized public goods game" with nonempty, Önite strategy sets A1 ;::;An : Let g : A1    . . .  An  ! R , h1  : A1  ! R;:::;hn  : An  ! R be functions and deÖne the payo§ function ui  : A1    . . .  An  ! R for each i as

ui (x1 ;::;xn ) = g(x1 ;::;xn ) 一 hi (xi ):