1.   In this problem, we consider a decision maker who must solve a two period consumption-investment problem. The decision maker has w > 0 dollars to allocate for investment and immediate consumption. In addition, the decision maker has a twice continuously di§erentiable von Neumann -Morgenstern utility function u : R ! R satisfying u\ (x) > 0 and   u\\ (x) < 0 for all x e R.  Let w 一 x denote immediate consumption in period 1 and let x denote investment where 0  <  x  <  w .   In addition to the choice of x; the consumer will have additional income in period 1 determined as the realization of a nonnegative random variable.   In period  1,  this random variable is  Z .   In period 2,  the random return per dollar invested can be either Y1  or Y2 . The problem is made complicated by the fact that the individual must commit to his consumption decision w 一 x and investment decision x before learning the realizations of the random variables in each period. If the random second period return is Yi ; then his optimization problem may be formulated as

maximize E[u(w 一 x + Z)+ u(xYi )]

st  0 < x < w:

Let xi  denote the optimal solution when the second period return is Yi  and assume that 0 < xi  < w: Suppose that Y1  %2  Y2 : Suppose that R(z) = 一  for all z . If R(z) < 1 for all z and if R is a di§erentiable, increasing function of z, show that x1    x2 :

Solution: Let

fi (x) = E[u(w 一 x + Z)+ u(xYi )] = E[u(w 一 x + Z)] + E[u(xYi )]:

Then f(x) < 0 for all x and f(xi ) = 0 for each i.   As usual, we wish to show

that f(x1 ) < 0: To see this, deÖne

'(y) = 一E[u\ (w 一 x1 + Z)] + u\ (x1 y)y

Then

'\ (y)   =   u\\ (x1 y)(x1 y)+ u\ (x1 y)

=   u\ (x1 y) [1+ ]

=   u\ (x1 y)[1 一 R(x1 y)]

    0

In addition, 1 一 R(z)  0 and R\ (z)  0 imply that

'\\ (y)   =   u\\ (x1 y)x1 [1 一 R(x1 y)] 一 u\ (x1 y)R\ (x1 y)x1

<   0:

Since Y1  %2  Y2 ; we conclude that

0 = f(x1 ) = E['(Y1 )]  E['(Y2 )] = f(x1 ):

Remark:  In this problem, it is not enough simply to show that '\ (y)  0

as in problem #1 from the 2019 501 final exam.  There it was assumed that

Y1  %1  Y2  while in this problem it is assumed that Y1  %2  Y2 : FOSD implies but is not implied by SOSD (see exercise U35) so it is essential that one show that '\\ (y) < 0:

2. Consider a pure exchange economy with L goods and n consumers. Agent i has utility function ui  : R ! R and endowment !i  2 R . Let N = f1;::;ng and for each S  N; define the set F(S) of S-feasible allocations as

F(S) = f(yi )i2S  :X yi  <X!i  and yi  2 R for each i 2 S:

i2S             i2S

Let  0  = fa 2 Rja1 + ... + an  = 1g: An allocation (xi )i2N  2 F(N) is an inner core  allocation for the economy there exists a a 2  0  such, for every S  N and every (yi )i2S  2 F(S); we have

X                   X           

i2S                            i2S

Obviously,  every  inner  core  allocation  for the economy  is  a  core  allocation.

Suppose that each ui  : R ! R is di§erentiable and concave with rui (zi ) 2

R for all zi  2 R: If ((xi )i2N;p) is  a Walrasian equilibrium of the economy

with xi  2 R for each i, show that (xi )i2N  is an inner core allocation.  That

is, show that there exists an a 2  0  such that, for every S    N and every

(yi )i2S  2 F(S); we have

X ai ui (yi ) <X ai ui (xi ):

i2S                            i2S

[Hint: To find (a1 ;:::;an ); first use concavity and the KT conditions for the utility maximization problem for agent i to prove that there exists for agent i a positive number 入i  such that for each (yi )i2S  2 F(S); we get

ui (yi )  ui (xi ) < 入ip . (yi  xi ):

Solution: From the (reduced) KT conditions for agent iís utility maximiza- tion problem, we conclude that there are nonnegative numbers 入1 ;::;入n  such that the following conditions hold for each i:

rui (xi )  入ip   <   0; xi    0; [rui (xi )  入ip] . xi  = 0

p . (xi  !i )    <   0;入i    0; [p . (xi  !i )]入i  = 0

Note that xi  2 R implies that

rui (xi ) = 入ip

so that 入i   > 0: Now suppose that   (yi )i2S   2 F(S): Applying concavity, we obtain for each i 2 S

ui (yi )ui (xi ) < rui (xi ).(yi  xi ) = 入ip.(yi  xi ) = 入ip.(yi !i +!i  xi ) = 入ip.(yi !i )

Since 入i  > 0; we can define ai =入(1)i    and conclude that

i2S(X) ai [ui (yi ) 一 ui (xi )] <i2S(X)p . (yi 一 !i ) = p . "i2S(X)(yi 一 !i )# < 0:

Remark: The KT conditions for the problem

maximize  X ai ui (xi ) st (yi )i2S  e F(S)

i2S

exhibit a certain similarity to those of the consumer problems above but they not the same.   In particular, it is tempting to claim that  (xi )i2S  solves this weighted utilitarian problem for each S where ai  =入(1)i    and 入i  is the multiplier

in KT conditions for the utility max problem for agent i. However, this need not be true. Consider a simple two player economy with increasing utility functions whose WE  ((xi )i2f1 ;2g;p) gives each agent utility ui (xi )  > ui (!i ): Then for S = fig, it follows that !i  is the solution to

maximize ai ui (xi ) st yi  e F(fig)

and ai ui (!i ) < ai ui (xi ):

3. In this exercise we consider the value of market research to a proÖt max- imizing firm.  Consider a firm that produces a single good with cost function c : R+  ! R: The output price is a nonnegative random variable Y . Furthermore Z is a random variable that describes "market conditions" like weather or con- sumer tastes. The rvs Y and Z are are correlated with joint density f  having associated marginals fY  and fZ : The firm knows f  but not the realizations of Y or Z .  However, a market research company does know the realization of Z (but not the realization of Y) and is willing to inform the firm of this realization if the firm will pay for it. If the firm does not acquire the information, then it solves the problem

maximize E[Yx 一 c(x)] st x  0:

If it does acquire the information and the realization is the number z, then it solves the problem

maximize E[Yx 一 c(x)jZ = z] st x  0

with optimal value v(z).   Consequently, the firmís ex ante expected profit is E[v(Z)].

Will the firm buy the information from the market research company? You may assume that all optimization problems have solutions and that all relevant expectations exist and are finite.

Solution: Suppose that x  solves the problem

maximize E[Yx 一 c(x)] st x  0\