Exam 2 will cover 8.1-3, 8.5 and 10.1-10.4. Please note that integration skills learned in earlier sections will still be needed for the material in 7.5, 7.8 and chapter 8.  This sheet has three sections.  The first section will remind you about techniques and formulas that you should know.  The second gives a number of practice questions for you to work on. The third section give the answers of the questions in section 2.

Review

8.1 Arc Length

To find the length of a curve given by f (x),    a ≤ x ≤ b, the formula is

b

s =       ^1 + (f\ (x))2 dx.

a

Notice that there is a reason that this section is not in chapter 6.  Arc length integrals can be difficult to solve. You may need any of the techniques from Chapter 7 to calculate the arc length.

If the integral is complicated, you may wish to simplify it first. for example, when f\  is a fraction, you may wish to rewrite 1 + (f\ (x))2  as a single fraction before you proceed.

8.2 Surface Area

Here are the important steps to keep in mind when solving this problem:

❼ First sketch the curve and identify the axis of rotation.   Choose a variable, either x or y, to serve as our independent variable. If the curve is given as a function of x (e.g., y = x2 + 1), then we will want to choose x as our independent variable, while if the curve is given as function of y (e.g., x = y3 _ y + 1), we will want to choose y as our independent variable. This is the variable with respect to which we will be integrating. If the curve is given implicitly (e.g., x2 + y2  = 1), then we may choose either variable and solve for the other variable.

❼ Next consider the circumferences of the circles formed by revolving points on the curve about the axis of

rotation.  The circumference of such a circle will be 2πr, where r is the distance to the axis of rotation.  This circumference should be expressed as a function of either x or y, whichever one we chose in the previous step to be our independent variable.

❼ The general formula for the area of a surface of revolution of this type is

b

S =      (circumference) ds

a

where circumference is what we found above, and ds is either │ 1 + ╱ d(d))北、2  dx or │ 1 + ╱ d(d)北)、2  dy, according to

whether x or y is our independent variable, respectively.

Examples:

b

Rotating f (x), a ≤ x ≤ b about the x axis:       2πf (x) ^1 + (f\ (x))2 dx.

a

b

Rotating f (x), a ≤ x ≤ b about the y axis:       2πx ^1 + (f\ (x))2 dx.

a

b

Rotating f (x), a ≤ x ≤ b about the axis y = c:       2π|f (x) _ c|^1 + (f\ (x))2 dx.

a

b

Rotating f (x), a ≤ x ≤ b about the axis x = d:       2π|x _ d|^1 + (f\ (x))2 dx.

a

Exercise: Write the appropriate formulas for a function of y .

Note that you may need the same techniques to solve these integrals as you do in section 8.1.

8.3 Applications to Physics and Engineering

Fluid pressure

The calculation of fluid pressure on a plate vertically suspended in a liquid is

b

ωD(h)L(h) dh

a

where D(h) is the depth at h, and L(h) is the width of the plate at h.

Centroid

There are three types of problems that you will need to be able to calculate.

❼ Using the property of sums of moments to be able to find centroids and center of mass.  (Used in point masses,

and in regions where the area is easily calculated.)

❼ Finding the moments with respect to the x and y axes, and the centroid of a region bounded by two functions.

For example, if the region is bounded by

f(x) ≤ y ≤ g(x),    a ≤ x ≤ b,

then we have:

b

Moment about the y axis:M)  =       x(f(x) _ g(x))dx

a

b  1

Moment about the x axis:M北 =        2 (f2 (x) _ g2 (x)) dx.

Since the area of the region is

b

A =      (f(x) _ g(x)) dx,

a

the centroid is given by

 M)                    M北

A  ,             A  .

❼ finding the center of mass of a plate.  Here, we have a density.  (mass is density times volume).  If the density

is constant, the moments are just the calculations above times the density. The mass of the object is also the area times the density.  The center of mass, however, is the same as the calculation for the centroid.  In the case of a density that is not constant, the situation is more complicated.  However, since the homework only has constant density, that is all that need concern us for this exam.

You may need to rework the above equations for regions contained by functions of y .

Geometric properties of the centroid

We now turn to some properties of the centroid which can simplify certain geometrical problems.

1.  Centroids of triangles are given geometrically If you are trying to find the centroid of a triangle, you can do the following: Measure 2/3 along the line connecting a vertex to the midpoint of the opposite side. That’s the centroid!  (If you draw the lines from each vertex to the midpoint of the opposite side, they all intersect in the centroid.)

2.  Use symmetry The centroid will always lie on a line of symmetry (if the object possesses one). For example, suppose we have a triangle with vertices at  (0, 0),  (2, 0) and  (1, 5).   This is an isosceles triangle.   By the symmetry, it is clear that x = 1.  From the last item, since the line from the vertex above to the midpoint is vertical, we see that y = 5/3.

3.  Moments Add!  If you are trying to find the moment of a complicated region, you can split the region into simpler regions and add the moments together. For example, suppose a circle of radius 1 and a square of length

1 are placed side by side. Where is the centroid of the system?

1

The centroid of the circle is (_1, 1).  Thus, the moment of the circle about the y axis is -1 times the area of the circle:  _π .  Similarly, the moment of the circle about the x axis is π .  Since the centroid of the square is at (1/2, 1/2), the moments of the square about the y and x axes are both 1/2 (since the area of the square is 1). Thus, the total moment about the y axis is _π + 1/2. Also the total moment about the x axis is π + 1/2.

Hence, the centroid is given by

 _π + 1/2

π + 1

and

 π + 1/2

π + 1  .

4.  Other calculations look like moment calculations Recall that when we developed the calculations for

force due to fluid pressure, we took a small strip and multiplied the area by ω × depth. That is like calculating a moment! It should be no surprise, therefore, that if the force due to fluid pressure on the (submerged, vertical) plate is

(weight density of liquid) × (depth of centroid) × (area of plate). We also have the first theorem of Pappus for the calculation of volumes of rotation:

Volume = 2π × (distance from centroid to rotation axis) × (area).

You should only use these formulas either when you already have the centroid, or when it is easy to find.        For example, suppose we wish to find the force on the side of a circular plate of radius 2 feet that is submerged in water to a point 5 feet from the top of the plate.  Since the centroid of the plate is 7 feet from the surface,

the force is given by

F = 62.5 × 7 × 4π = 437.5πlb.

Notice how much easier the calculation becomes! That is because the centroid was easy to find.

8.5 Probability

This section is concerned with the probability of a continuous random variable.  A continous random variable X is described by a probability density function f (x) with the following properties:

a)  f (x) ≥ 0 on (_&, &).

b)   –&(&) f (x)dx = 1.

With a probability density function, you can perform the following calculations:

a)  Find the probability that X is between A and B: P (A < X < B) =  A(B) f (x)dx

b)  Calculate the mean: µ =   –&(&) xf (x)dx

c)  Calculate the median: Find m so that   &m f (x)dx =

d)  Calculate the standard deviation: σ = 尸 –&(&)(x _ µ)2 f (x) dx

10.1 Parametric Equations

We learned how to define curves parametrically. That is, we learned how to describe a curve given by an equation H(x, y) = 0

in terms of a pair of functions

x = f (t), y = g(t).

You will need to be able to do the following:

(a)  Graph a curve from its parametric equations.

(b)  Recognize the curve of a set of parametric equations.

(c)  Eliminate the parameter of the parametric equations to find an equation in x and y describing the curve.

(d)  Construct a set of parametric equations for a curve written in cartesian coordinates.

10.2 Calculus of Parametric Equations

In the discussion below, we will assume that a curve can be described parametrically by

x = f (t),

y = g(t).

Slopes

dy =    = g\ (t)

dx       d(d)t(年)         f\ (t) .

This gives a formula for the slope as a function of parameter.

d2 y        ╱ d(d))年、

dx2  =       d(d)t(年)

Arclength

1

s =        ^(f\ (x))2 + (g\ (x))2 dx

0

Surface Area

Rotated about the x axis:

Rotated about the y axis:

1

S =        2πg(x) ^(f\ (x))2 + (g\ (x))2 dx

0

Area under the curve

Area between the curve and the x axis:

t1                                   t1

A =        y dx =        g(t)f\ (t) dt

t0                                   t0

Area between the curve and the y axis:

10.3 Polar Coordinates

In this section, we learned how to write points and equations in polar coordinates.

You will need to be able to do the following:

(a)  Convert a point from cartesian coordinates to polar coordinates and vice-versa.

(b)  Be able to write a polar curve in cartesian coordinates and a cartesian curve in polar coordinates.

(c)  Be able to graph and recognize polar curves. You will need to know the following formulas:

❼ x = r cos θ

❼ y = r sin θ

❼ r = ^x2 + y2

❼ θ = tan – 1 (y/x) if (x, y) is in quadrants 1 or 4. Otherwise, θ = tan – 1 (y/x) + π .

You will also need to be able to find the slope of a polar curve.  Fortunately, we can do this using the standard parameterization of a polar curve. If r = f (θ) is a polar curve, then from the above equations we can write

x = f (θ) cos θ

y = f (θ) sin θ .

Then we can use the techniques of section 10.2 to find the slope of the tangent line.

10.4 Calculus of Polar coordinates

Note that we can use the parameterization of polar curves mentioned in the previous section to find arclength also. However, in this case, the formula simplifies considerably, so it is better to use the simplified formula directly.  If r = f (θ), then the arclength is given by

↘ 1

s =        ^(f (θ))2 + (f\ (θ))2 dθ .

↘0

We also wish to find area underneath polar curves. However, since polar curves are defined by angle, underneath really translates to “between the curve and the origin” .  The area “inside” a polar curve r = f (θ), or between the polar curve and the origin is given by

↘ 1    1

A =         2 f2 (θ) dθ .