INSTRUCTIONS

This portion of the final exam will be due on Friday 6/30 at 11:59pm EST. You will solve the problem using both excel and theoretical work. When you are finished, email me your excel spreadsheet AND a PDF of your work.  This take-home exam should be completed individually.  That being said, I will have office hours throughout the week at which you can ask me any questions, and will be available by email as always. Additionally, this portion of the exam is open notes/course resources:  you are allowed to use the same materials you have been allowed to use in your problem sets, except other people in the course.  You will receive full credit for correctness as well as showing all your work (do not just put down the final answer to a problem unless this is explicitly asked for). Even if you do not ultimately have the correct answer, showing your work will yield you significant partial credit. This part of the exam is out of 40 points, split evenly among the theoretical and numerical sections.

The Problem

In this problem we will explore a card-drawing simulation based on a random number of cards drawn. We will examine both the theoretical and numerical breakdowns of this experiment and synthesize our results.

1) Theoretical Section (20 points)

(a) There are 52 cards in a single deck, 13 of each suit.  For simplicity, treat an Ace with the value 1, and Jack, Queen, and King with values of 11, 12, and 13, respectively. Choose one card you would like to fix for this experiment (e.g.  Queen of Spades, 3 of Diamonds, 10 of Clubs etc.), and assign to it a numerical value j = 1, 2, . . . , 52.  We will use this value as your card, wj , throughout the remainder of the experiment.

(b) Letting N ~ Binomial(n,p), draw N cards from the deck.  Let AN  be the event in which your card !j  is one of those drawn.  In this set up, what must the value of n be, and why? Use this value for all subsequent steps.

(c) Recall from week 4 of class the Indicator random variable

E (!)

for some event E . In this problem we will use the indicator r.v. AN . For a deterministic (i.e. fixed) n, write out the PMF p An (a), first defining the possible values of a.

(d) We will now consider the impact of the random parameter N on the PMF of our indicator r.v.  Compute using the Law of Total Probability the PMF p AN  (a).  Note: in part f you are asked to use the Law of Total Expectation, so make sure you are not directly applying that in this part!

(e) In our primer question in lecture 3 we studied a very similar problem, where we deter- mined that no matter how many people there were in the classroom, and no matter what number in the draw order you were, that you as an individual have a 1/52 probability of drawing the Queen of Spades.  Does our result in part d contradict our conclusion from lecture 3?  Why or why not?  Justify your answer using a few short sentences and/or mathematical statements.

(f)  Compute using the Law of Total Expectation E(AN).   Hint:   it may help first to compute E(An) for a deterministic n.

(g) Knowing what we do about indicator random variables, does our answer in part f align with that in d?

(h) Do you find this result interesting?  Explain what is expected and/or unexpected for you about the results of this experiment from a theoretical perspective.

2) Numerical Section (20 points)

Turn your attention to the Excel template.   We will now simulate this experiment and compare our results to the theoretical results above.  As usual, you only need to edit cells shaded yellow. NOTE: If you were unable to complete the theoretical part above, you can still do most of this part here!

(a) First input your values for n (answer in part (b) of the previous section) in cell C1, p

(probability of success for Binomial Distribution, you choose a value) in cell C2, and your card !j  (from part (a) of previous section, written as a number) in cell H2. Write down what you chose as your answer for this part.

(b) You must first simulate N as a sum of n Bernoulli trials, with success parameter p. Perform this simulation in the yellow-shaded cells in columns A and B at the top of the spreadsheet. In column B, make sure to account for your choice of p!

(c) After completing the previous step, you should see the card draw simulation automat- ically fill itself in. Explain in words the formulas in the following cells/columns:

1)  Cells F5:F56

2)  Cells G5:G56

3)  Cell E58 (make sure to take into account the result of the simulation for N)