1.  The temperature u of a rod of length 1 satisfies

ut  = uxx           0 < x < 1;    t > 0;

with boundary conditions

u(0; t) = 0;        ux (1; t) = 20;

and initial condition

u(x; 0) = f (x)

for some piecewise smooth function f.

(a) Find the steady state solution, us (x), analytically.   Then write down a PDE plus boundary and initial conditions that is satisfied by the function U (x; t) defined to be U (x; t) = u(x; t) - us (x) where u(x; t) is the solution to the PDE given above.

(b)  Use separation of variables to find a solution to the PDE in the form of an infinite sum.

(c)  (Optional)1   Download the matlab notebook heat.mlx from canvas.  The purpose of the notebook is to plot different partial sums of the solution to this problem at different values of t.

i.  Run the notebook, step by step, to calculate and plot several different partial sums of the solution for t = 0.  Use the initial condition

f (x) = ,1(0)0(;) ;    x(x)    

Remember that this is the initial condition for the original PDE, not the modified PDE you wrote down in (a).

ii.  Now repeat step (i) for the choice t = 0:001.  How many terms do you need in your partial sum to get an accurate solution?  How do you know when you have enough terms?

iii. Now repeat step (i) for some different choicesoft.  Try some very small values of t and some larger values of t.  How many terms do you need in your partial sum to get an accurate solution?  Does your answer depend on t?