Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

MATHS 361

Tutorial 3

The aim of this tutorial is to become more familiar with Sturm-Liouville problems.

1. Which of the following BVPs are regular Sturm Liouville problems?  Give rea- sons for your answers.

(a) y// + y + λy = 0,  -π < x < π ,

y(-π) = 0, y(π) = 0

(b) y// + 2y/ + λy = 0,  0 < x < 1,

y(0) = 0,  y(1) - 4y/ (1) = 0

(c)  2y// + y + λy = 0, 0 < x < o ,

y(0) = 0, limz二o y/ (x) = 0

(d) xy// + y/ + λxy = 0, 0 < x < 1,

y(0) = 0, y(1) = 0

(e) xy// + y/ + y + λxy = 0,  1 < x < 3,

y/ (1) = 0,  y(3) = 0

2.  By checking the conditions in the relevant theorem presented in class, show that

each of the following Sturm Liouville problems has no negative eigenvalues.

(a) y// + λy = 0 for x ∈ (0, 2),   y(0) = 0,  y/ (2) = 0.

(b)  (1 + x2 )y// + 2xy/ + λy = 0 for x ∈ (0, 2),   y/ (0) - y(0) = 0,  y(2) = 0.

3.  Determine whether zero is an eigenvalue for each of the following SLPs.  In each case, if the answer is yes, find the corresponding eigenfunction.

(a) y// + λy = 0, y/ (-1) = 0,  y/ (1) = 0.

(b) y// + λy = 0, y(-1) + y/ (-1) = 0,  y/ (1) = 0.

4. The SLP y// + λy = 0,   y(0) = 0,   y/ (π) = 0 has the eigenvalues λn  = (n - 1/2)2

for n = 1, 2, . . . with corresponding eigenfunctions φn  = sin /n -  x.

(a) Write down the weight function for this SLP.

(b)  Express the function f (x) = x, x ∈ [0, π] as an infinite sum of the eigen- functions. Compute all the coefficients in the sum.

5.  Compute the eigenvalues and eigenfunctions for the following SLP:

y// + 2y + λy = 0,   y/ (0) = 0,   y(π) = 0.

Hint: Write µ = 2 + λ .

6.  Challenge  question:   Use  matlab1   to  compute  the  smallest  three  positive values of λ such that taneλ = -eλ.  Give your answers with three significant figures of accuracy.