(1) Consider the sets A = {x :  |x − 2| < 3} and B = {x :  −2 < x ≤ 4}. (a) Sketch the number line representations of sets A and B .

(b) Find the expression of A ∩ B and write your answer in interval notation.

(2) Find all values of x such that           <

Write your answer in interval notation.

(3) If f(x) =  and g(x) =  find the composition function f ◦ g(x).               Furthermore, find the domain of f ◦ g . Write your answer in interval notation.

(4)   (a) Write f(x) = |2x − 3| as a piecewise function.

(b) Use your answer in part (a) to algebraically find all values of x which satisfy the inequality

x + 1 < |2x − 3| .

Write your answer in interval notation.

(5)   (a) Find the slope-intercept form, y = mx + b, of the line passing through the points

(x,y) = (1, − 1) and (x,y) = (3, 5).

(b) Find the slope-intercept form, y = mx + b, of the line passing through the point

(x,y) = (− 1, 2) and is perpendicular to the line y = −2x + 4.

(6) Consider the quadratic function

f(x) = − x2  − 2x + 6.

(a) Write y = f(x) in the form y = ±d (x − b)2 + B and identify the Cartesian coordi-

nates of the turning point.

(b) Find the Cartesian coordinates of the x- and y-intercepts for y = f(x).

(c) Sketch the graph on the grid provided, clearly label the information found in parts (a) and (b). Your graph should include axes that have clear scaling and labels.

(7) Completely factorise the cubic function

f(x) = −4x3 + 4x2 + 11x − 6

given that x = 2 is a zero of f(x).

(10) Solve for x in the following equations: (a)  () 北 = 0.

(b) 2北2 +2  = 8北 .

(c) 2 loge (x) − loge (5x) − 1 = 0.

(11) Consider the exponential function

f(x) = 2北+1 − 4.

Find the equation of the inverse function f −1  (if it exists).

(12) The number of people in a community who hear a particular rumor is governed by the

logistic model

R(t) =

where R(t) represents the number of people who have heard the rumor t days after the rumor initially was told by one person to another person.  The constants L, M and κ are to be determined from observations of the spreading rumor.

The following observations of the rumor “The cake is a lie” spreading across a uni- versity campus are made

• Initially one student tells another student the rumor, that is, only 2 students have heard the rumor.

• The rumor spreads to 10 students after 1 day.

• After a number of days of observations it is predicted that eventually, that is, after a very long time, 200 students on campus will have heard the rumor.

Given the three pieces of information provided from the observations of the rumor, find the exact values of the constants L, M and κ . Write the equation describing how many people have heard the rumor at time t days after the rumor starts.

(13) Given that

sin(θ) =   for  < θ < π

find the value of cos(θ).

(14) Find all solutions for x ∈ [0, 2π) of the trigonometric equation:

4 − 5 sin(x) = 2 cos2 (x) .

(15) Use first principles to find the first derivative of the function:

f(x) = ^x + 1.

(16) Identify the critical numbers of the function:

2

f(x) = x 5   (x − 7) .

(17) Find the equation of the tangent line to the curve y = loge     )

at the point (x,y) = (e, − 1).

(18) Find the indefinite integral

\ 3 sin(πx) + e2北+1 + ^1 − 3xdx.

(19) Use the Fundamental Theorem of Calculus to explain why \−1(1) loge (|x|) dx

does not exist.

(20) Find the value of the definite integral

\0 2  dx.

Section B

(1) Let y = f(x) be represented by the graph

Sketch on the provided grids with axes the graph of each of the following transformations described.

Clearly label the Cartesian coordinates where the three marked points go under each transformation.

(a) y = −f(x)

(b) y = f(x − 2) − 1

(c) y = f (− )

(d) y = f(2x + 2)

(3)   (a) As the Moon revolves around the Earth, the side that faces the Earth is usually just partially illuminated by the Sun. The phases of the Moon describe how much of the surface appears to be in sunlight. An astronomical measure of phase is given by the fraction F of the disc that is lit

F(θ) =  (1 − cos(θ))  (for  0 ≤ θ ≤ 2π)

where θ is the angle between the line of Sun-Earth and the line of Moon-Earth.

Moon θ

Earth

Sun

 (This diagram is not to scale and only for explaining the physical significance of θ).

(i) Algebraically determine the angles, in radians, that correspond to the fol- lowing phases:

(A) F = 0 (new moon)

(B) F = 0.25 (crescent moons)

(C) F = 0.5 (first or last quarter moons)

(D) F = 1 (full moon)

(ii) Sketch the graph of F(θ) for the stated domain on the grid provided.           The period, amplitude and midline of y = F(θ) should be clear from your graph. Futhermore, your graph should have axes that have clear scaling and labels.

(b) Algebraically show that

(cos(A) + cos(B))2 + (sin(A) − sin(B))2  = 2 + 2 cos(A + B) .

Note that you will need the assistance of the trigonometric identities.

Grid for Question 3(a)(ii)

(4) Consider the rational function

(a) Calculate the x and y intercepts of y = f(x).

(b) State any vertical asymptotes of y = f(x).

(c) Using polynomial long division calculate the horizontal/slant asymptote(s) of y = f(x).

(d) Find the first derivative f/ (x).

(e) Find the Cartesian coordinates for the stationary points of y = f(x).

(f) Use the second derivative f// (x) to identify the nature of each stationary point.

(g) Sketch the graph of y = f(x), on the grid provided, showing all the information that you have obtained in parts (a)-(f). Futhermore, your graph should have axes that have clear scaling and labels.

(5)   (a) Find the values a and b such that

x2 + x − 2 = (x − a)(x − b) .

(b) Use your result in (a) to find the values of A and B such that

x + 5            A         B  

x2 + x − 2     x − a     x − b .

(c) Use your result in (b) to find the indefinite integral

\  dx.

(d) Use your result in (c) to find the definite integral

  dx.

Simplify your solution as much as possible.