Q0  Please type this sentence at the beginning of your submitted answer:

“I declare  that I am  undertaking the  exam  in  the prescribed  exam  conditions with no assistance from a third party  or the use of prohibited resources. ”

Q1  (10 points) Find a matrix A that solves the following equation:

┌ 1   2   3  ┐ x  ! 1(1)

2

3(3) ; x A = 1

3 |

Q3  (20 points) Let D  = {(α1 , α2 , α3 ) I α1  > 1, α2  > 2, α3  > 3}.   Consider the  utility  function U : D → R s.t.

U (α1 , α2 , α3 ) = ln (α1  - 1) + 2 ln (α2 - 2) + 3 ln (α3 - 3) .

(a) Write down the gradient vector and the Hessian matrix of U.  (10 points) (b) Is U concave? Prove your answer.  (10 points)

Answer:

(a) The gradient vector of U is

α3 -3

The Hessian matrix of U is

;

|

! - H =  (

ì

1       (α1 -1)2

0

0

0

2       

-

(α2 -2)2

0

0

0

3

- (α3 -3)2

;

)

|

(b) The leading principal minors of H are

-6

IHI   =   (α1  - 1)2 (α2  - 2)2 (α3 - 3)2  < 0

│

1       

-

(α1 -1)2

0

=                2              

<   0

> 0

Therefore, H is negative definite. This proves that U is strictly concave.

Q4  (30  points)  Let  D  =  {(α1 , α2 ) I α1  > 1, α2  > 2}.    Suppose  that  Gwen’s  preference  over (α1 , α2 ) - quantities of goods 1 and 2 - is described by the utility function U : D → R s.t.

U (α1 , α2 ) = (α1  - 1) (α2 - 2)2 .

Gwen has a total budget of M dollars to spend on goods 1 and 2.  The unit price for good 1 is 夕1  and the unit price for good 2 is 夕2. Gwen’s goal is to maximise her utility subject to her budget constraint.

(a) Write down Gwen’s constrained maximisation problem and set up the Lagrangian function associated with it. (2 points)

(b) Find the solution (α1(*), α2(*)) to Gwen’s maximisation problem.  Please first express α1(*)

and α2(*) as functions of 夕1 , 夕2 , M , and then calculate their values when 夕1  = 1, 夕2  = 2,

and M = 10 (rounded to 3 decimal places).  (10 points)

(c) Check the sufficient conditions to verify that your solution in (b) is indeed a maximum point (and not a minimum or saddle point). (8 points)

(d) How does the maximised utility U*  = U (α1(*), α2(*)) change with income M?  How does

it change with 夕1 ?  Please first express   calculate their values when 夕1  = 1, 夕2  = 2, and M = 10 (rounded to 3 decimal places). (10 points)

Answer:

(a) Because U strictly increases with both α1  and α2 , Gwen’s budget constraint always binds at the optimum. This means that we can set up a maximisation problem with an equality constraint:

x1(m);x(a)   (α1 - 1) (α2 - 2)2

5.≠ .   夕1 α 1 + 夕2 α2  = M

Set up the Lagrangian

x1;(m)x2(a)           c (α1 , α2 , A)

5.≠.   c (α1 , α2 , A) =   (α1  - 1) (α2  - 2)2  - A (夕1 α 1  + 夕2 α2  - M)

(b) FOC:

[α1]           (α2  - 2)2                 = A夕1

[α2]   2 (α1 - 1) (α2  - 2)   = A夕2

[A]        夕1 α 1 + 夕2 α2            = M

Take the ratio of the first two equations:

   =   夕(夕)2(1)

α2     =   2 (α1 - 1) 夕(夕)2(1) + 2

Substitute this into the budget constraint:

夕1 α 1 + 夕2 α2     =   M

夕1 α 1 + 夕2  ┌2 (α1 - 1) 夕(夕)2(1) + 2!   =   M

夕1 α 1 + 2 (α1 - 1) 夕1 + 2夕2     =   M

3夕1 α 1     =   M - 2夕2 + 2夕1

α*     =                           

α2(*)     =   2 (α1(*) - 1)夕(夕)2(1)  + 2

=   2 ╱  M - 3夕1(2夕2)+ 2夕1  - 1、夕(夕)2(1) + 2 =   2 ╱ M - 3(2)夕(夕)1(2) - 夕1 、夕(夕)2(1) + 2

=                             + 2

3夕2

=   2M +3夕(2夕)2(2) - 2夕1

A*     =    (α2(*)夕1(-) 2)2

(2M - 4夕2 - 2夕1 )2

9夕1夕2(2)

When 夕1  = 1, 夕2  = 2, and M = 10,

α1(*)  =  s 2.667

α2(*)  =  s 3.667

A*  =  s 2.778

(c) Note that

ln U (α1 , α2 ) = ln ┌(α1 - 1) (α2 - 2)2 ┐= ln (α1 - 1) + 2 ln (α2 - 2)

It’s easy to verify that this is a strictly concave function with an approach similar to Q3. Therefore, U is an increasing transformation of a strictly concave function.  Because we’re maximising an increasing transformation of a concave function subject to a linear (and

hence, quasi-convex) constraint, the solution to the FOC must solve the maximisation

problem.

(d) By the Envelope Theorem:

?U* ?M ?U*

?p1

When p1  = 1, p2  = 2, and M = 10,

从1(*)  =

λ*  =

Therefore,

=   λ*

=   -λ* 从1(*)

s 2.667

s 2.778

   =    s 2.778

s -7.407

Q5  (25 points) Please maximise

f : ,(从, g) e R2  I 从 持 0, g 持 0、→ R s.t.  f (从, g) = 85从 + 25g subject to the following constraints:

2从 + g   <   3

从 + 2g   <   3

(a) Find the solution (从* , g* ) to the maximisation problem.  (12 points) (b) Which of the constraints are binding?  (3 points)

(c) Check the sufficient conditions to verify that your solution in (a) is indeed a maximum point (and not a minimum or saddle point). (10 points)

Answer:

(a)

max

α←g←λ1 ←λ2

S.t.   c (从,g, λ1 , λ2 ) =

c (从,g, λ1 , λ2 )

85从 + 25g - λ 1 (2从 + g - 3) - λ2  (从 + 2g - 3)

FOCs for 从 and

g:

[从] [g]

4从- 

g- 

= 2λ1 + λ2

= λ1 + 2λ2

Complimentary slackness conditions:

[λ1]   λ 1  2 0, 2从 + g < 3,   λ1 (2从 + g - 3) = 0

[λ2]   λ2  2 0, 从 + 2g < 3,   λ1 (从 + 2g - 3) = 0

Case 1:  λ1  = λ2  = 0.

Then, the FOCs imply that 4① -    = 0 and g-    = 0, both of which are infeasible. Therefore, this case does not produce any solution candidate.  。

Case 2:  λ1  持 0, λ2  = 0.

[λ1]     2① + g = 3

[①]&[g]    4①- 2   = 2g  2        ÷ ① = 4g

The solution to these two equations is ①  

λ 1  = 4① -   - g- 

and

① + 2g < 3

Both inequalities hold when ①   . √

Case 3:  λ1  = 0, λ2  持 0.

[λ2]    ① + 2g = 3

[①]&[g]    8①-   = g-      ÷ ① = 64g

The solution to these two equations is ① = 1(3)1(2)  and g = 22(1).  We still need to verify that

λ2  = g-   - 4①-   持 0

and

2① + g < 3

Unfortunately, the second inequality does not hold because

2① + g = 1(6)1(4) + 22(1) = 22(129) s 5.86 持 3.

Therefore, ① = 11(32)  and g =

Case 4:  λ1  持 0, λ2  持 0

is not a solution candidate. 。

[λ1] ÷   2① + g = 3

[λ2] ÷   ① + 2g = 3

The solution to these equations is

① = g = 1.

Plug this solution back into the FOCs:

[①]   4   = 2λ1 + λ2

[g]   1   = λ1 + 2λ2

This yield λ1   it must be positive. Therefore, ① = g = 1 is not a solution candidate.  。

(b) From part (a) we know that   1  > 0 and    2  = 0.  Therefore, this means that the first constraint (2x + y < 3) is binding. The second constraint (x + 2y < 3) is not binding.     (c) The Hessian matrix off is

H =

-2x- 

0

!