Algebra 111C

Assignment 6

SOLUTIONS TO SELECTED PROBLEMS

1.  Prove that S4  is solvable.  Hint:   start  with  S4  p A4,  then  the  only  thing  needed  is  some/any G a A4  of  order  4 .

Solution. Want Ga A4  with |G| = 4. Then at once

S4 B A4 B G B {1}

with S4 /A4   Z2 abelian, A4 /Ghas order 12/4 = 3 今 abelian, G/{1} = G abelian since |G| = 4.

Group A4  consists of all even permutations of {1, 2, 3, 4}.  Look at disjoint

transpositions τ1 τ2  E A4 .  All such τ1 τ2  are

(12)(34),    (13)(24),    (14)(23).

Denote by a,b,c. Easy: a2  = b2  = c2  = 1.  Longer computations:

ab = ba = c,    ac = ca = b,    bc = cb = a.

Hence G < A4  and G =  Z2  根 Z2 , the Klein group!

Need normality.  But actually G a S4 , not just A4 .  Indeed, Aσ  E S4   and any disjoint τ1 τ2

στ1 τ2 σ __ 1  =  ╱στ1 σ __ 1、╱ στ2 σ __ 1、.

For any τ = (ij) the Sn-calculus formula gives

╱σ(ij)σ __ 1 、= ╱σ(i)σ(j)、.

Therefore

στ1 τ2 σ __ 1  = ˜(τ)1 ˜(τ)2

with ˜(τ)1 , ˜(τ)2  disjoint because τ1 , τ2  are.  Hence στ1 τ2 σ __ 1  is some element of

G.                                                                                                                  □

2. You  need  the  full  discriminant  problem  from  HW4  for  this  one.  You  may  use  ∆  =  a2 b2  − 4b3  − 4a3 c +  18abc − 27c2  for the  discriminant of  x3 + ax2 + bx + c.   Let f(x) E F [x] be irreducible over F of degree 3, F be a number field. Prove that GalF (f) = S3 or A3 .

Compute Galois group over Q of the following polynomials. You can using any method/short-cut you prefer.

(a)  x3 + 2x + 5

(b)  x3  一 1