Algebra 111C

Assignment 5

SOLUTIONS TO SELECTED PROBLEMS

1.  Let p be prime.

Prove that if G < Sp  contains a cycle of order p anda transposition then

G = Sp.

Let f (x) e Q[x] be irreducible over Q, degf (x) = p, having exactly two roots α1 ,2  with Imα1 ,2   0. Use the previous claim to prove Gal。f = Sp.

Hint:  for both parts follow the steps for  x5 - px + p we did in class.  Use the Cauchy theorem about abstract group  G  with  p │  │G│  to  reduce  the  second  part  to  the  first.

Solution.

Part 1 .  Use the theorem  (have proved in class, see the notes):  p prime, G < Sp  acts transitively, G 3 a transposition ÷ G = Sp.

Just need to verify G in the problem acts transitively. Element c e Sp  is ap-cycle means c = (1 . . . p) after a possible renumbering. Then Vi,j can find k such that ck (i) = j. Say, cp−1(1) = p.

Part 2.  For number fields irreducible  ÷ separable.  Thus f  has distinct

roots ρ1 , . . . , ρp−2  e 1 ,2. Coefficients off are rl ÷ α 1 ,2  = a土ib,

Always know one element φ e Aut(C/R) < Gal。(f), namely φ(z) = ¯(z)

complex conjugation. It is identified with transposition╱(p __ 1) p、e G < Sp.

Existence of ap-cycle.  Since f irreducible conclude f (x) = mρ1 ,。(x) and [Sf   : Q] = p, where Sf   is the splitting field over Q of f (x).  Extension Sf /Q is Galois, hence  lGal。(f)l  =  [Sf   :  Q] = p.   Cauchy  theorem says lGl  = p prime ÷ G has element of order p.  Let c e G < Sp  has order lcl  = p.  Then c is a cycle of length p.  Indeed, write c = c1 . . . cN , the

unique disjoint cycles decomposition,  ci     id.   Know that c1(p)  =  id.   If

length of c1  is k then  lc1 l = k and then k│p.  Thus k = p and c1  contains

all elements 1, . . . , p. But then c = c1 , N = 1.                                          □

2.  Suppose f, g e F [x]. Prove that GalF (fg)  H , where

H < GalF (f) x GalF (g).

You may assume F isa number field.

Solution. All fields are number fields, so (non-)separability off, g isirrel- evant.

Let α1 , . . . , αn  be roots off , β1 , . . . , βm  be roots of g ,

E = F (α1 , . . . , αn , β1 , . . . , βm ),