Problem  1.    [5 points] Express the following statements using quantificational logic.  You may assume that the domain is the set of all integers Z. You do not need to prove the validity of these statements.

1.  There is no integer solution to the equation y2 + 4 = 7.

2. Every number that is smaller than 6 is also smaller than 10.

3.  There are two different integers whose absolute value is 5.

4. All solutions x of the inequality x2 − 3x > 15 are greater than 6.

5.  For every number a, the equation ax2  + 4x − 2 = 0 has at least one solution when a ≤ −2

but none when a > −2.

Problem 2.    [10 points] Prove the following statements using direct proof.  You may assume that the domain is the set of positive integers Z+ .

1. ∀x∃y(2x − y = 0)

2.  ¬∃y∀x(2x − y = 0)

3. ∀x(x < 10 → ∀y((y < x) → (y < 9)))

4.  ∃y¬∀z(y · z = 1)

Problem 3.   [12.5 points] Prove the following statements using proof by contradiction.

1. Let a and b be real numbers. If 5a + 25b = 1723, then either a or b is not an integer.

2. For all non-negative real numbers x, y, and z, if a2 + b2 = c2 , then a + b ≥ c.

3.  There does not exist a positive real number x such that x +  < 2.

4.  There does not exist an integer n such that 4n + 3 is a perfect square.  Note that a perfect square is in the set {k2 |k ∈ N}

Problem 4.   [7.5 points] Prove part a by contrapositive proof and part b by proof by cases.

a)  For all positive real numbers x, y, and z, if xy = z, then x ≤ √z or y ≤ √z .

b)  Suppose x is a real number such that  > 0, then either x > 1 or −2 < x < −1.