5.    [1 mark ]  Find u × v.

Solution:  Using whatever your preferred method for inding the cross product of 2 vectors is, you should have had

u × v    =    (1, 2, 0) × (0, 0, 1) = (2(1) − 0(0), 0(0) − 1(1), 1(0) − 0(2))

=    (2 − 0, 0 − 1, 0 − 0) = (2, − 1, 0)

6.    [1 mark ]  Find the area of the parallelogram determined by u and v.

Solution:  The parallelogram determined by u and v has these 2 vectors as adjacent sides, and its area is given by the magnitude of the cross product of the two vectors. We have already seen in the previous

question that u × v = (2, − 1, 0), so in this case the area of the parallelogram is

|(2, − 1, 0)| = ^22 + ( − 1)2 + 02  = ^4 + 1 + 0 = ^5

7.    [1 mark ]  Find cosθ where θ is the angle between the vectors u = (1, 2, 3, 4) and v = (−4, −3, −2, − 1).

Solution:  We know that for any 2 non-zero vectors in the same space, the angle formed by the 2 vectors at the origin of that space has cosine value given by the dot product of the vectors divided by the product of the magnitudes of the 2 vectors. The given vectors u and v have magnitudes

|u|  =    |(1, 2, 3, 4)| = ^12 + 22 + 32 + 42  = ^1 + 4 + 9 + 16 = ^30

and |v|  =    |(−4, −3, −2, − 1)| = ^(−4)2 + ( −3)2 + ( −2)2 + ( − 1)2  = ^16 + 9 + 4 + 1 = ^30

So the cosine of the angle θ between these vectors is

u v        (1, 2, 3, 4) ( −4, −3, −2, − 1) −4 − 6 − 6 − 4 −20         2

8.    [1 mark ]  Which one of the following vectors is orthogonal to both u = i + j + k and v = i −j + k?

Solution:  We have k, so we must be in ℜ3 , with i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) and k = (0, 0, 1). And we know that when a vector is expressed in terms of these special unit vectors, the components of that vector are

the coecients of i, j and k, in that order. So we have u = (1, 1, 1) and j = (1, − 1, 1).  (Or you may have

And we know that the cross product of two vectors in ℜ3  is a vector which is orthogonal to both vectors. So the vector we are looking for will either be u × v, or else be some scalar multiple of that vector (since any vector collinear with that vector is also orthogonal to both u and v). The cross product vector in this case is

u × v = (1, 1, 1) × (1, − 1, 1) = (1(1) − ( − 1)(1), 1(1) − 1(1), 1(− 1) − 1(1)) = (1 − ( − 1), 1 − 1, − 1 − 1) = (2, 0, −2)

And that was one of the answer choices, so in this case we didn’t need to look for a vector collinear with the cross product vector.

9.    [1 mark ]  Find the value of k for which the vectors u = (2, 1,k) and v = (4, 2, 1) are orthogonal.

Solution: We know that 2 vectors in the same space are orthogonal if and only if their dot product is 0 (so that the cosine of the angle between them is 0, meaning that the vectors form a right angle at the origin of the space). So we need

u v = 0 ⇒ (2, 1,k) (4, 2, 1) = 0 ⇒ 8 + 2 + k = 0 ⇒ 10 + k = 0 ⇒ k = − 10

10.    [1 mark ]  Which of the following statements is/are true for all vectors u and v in ℜ3 ?

(i)   u × v    =   v × u

(ii)     u u   =    |u|

(iii)   u × u   =    (0, 0, 0)

Solution:   We know that statement  (i) is generally  not true.   The cross product of two vectors in ℜ3

is not commutative.  In fact, u × v = −(v × u), so the only time that this statement is true is when

And statement (ii) is also not generally true, because for any vector u = (a,b,c) we get u u = (a,b,c) (a,b,c) = a2 + b2 + c2

whereas |u| = ^a2 + b2 + c2 .  That is, u u = |u|2 , so the statement is only true when a2 + b2 + c2  =

0 or 1, i.e. when u is the zero vector, or is a unit vector.

But statement (iii) is true for any vector u in ℜ3 , because

(a,b,c) × (a,b,c) = (bc − bc,ca − ca,ab − ab) = (0, 0, 0)

11.    [1 mark ]  If the point (k, −7) lies on the line (x,y) = (3, − 1) + t(2, 3), ind the value of k .

Solution:   In order for  (x,y) =  (k, −7) to lie on the given line, it must satisfy the parametric equations

x = 3 + 2t and y  = − 1 + 3t  (for the same value of t) .  So we need  k  = 3 + 2t where −7 = − 1 + 3t .  That

is, we need 3t = −7 + 1 = −6 so that t = −2 .  which gives k = 3 + 2(−2) = 3 − 4 = − 1.

12.    [1 mark ]  Which one of the following is a point-normal form equation for the plane y = 2 in ℜ3 ?

Solution:  We have the standard form equation y = 2 and we are told that this is a plane in ℜ3 , so the equation is 0x + y + 0z = 2.  The normal used to write this equation is n = (0, 1, 0), and any point with

y-coordinate 2 is on this plane. A point-normal form equation for a plane in ℜ3  with normal vector n and which contains the point P is

n (x − p) = 0

Of course, any vector collinear with the normal vector used to write the standard form equation would also be a normal for the plane, so the equation could use any vector whose irst and last components are 0. So we need an equation that looks like this:

(0,a,0) ((x,y,z) − (b,2,c)) = 0

There is only one such equation among the answer choices:  (0, 1, 0) ((x,y,z) − (1, 2, 3)) = 0.

13.    [1 mark ]  Find the distance between the point (1, 2, 1) and the plane 2x + 2y + z = 1.

Solution:  The distance between a point P and a plane in ℜ3  with normal n is given by

distance  = |n (q − p)|

where Q is any point on the plane.  For instance, in this case the point Q(0, 0, 1) satisies the equation of the plane, so we could use this point.  On the other hand, the standard form equation is telling us that for any point Q on the plane, n q = 1, and the numerator of the formula can be expressed as

|(n q) − (n p)|, so we don’t actually need to ind a point on the plane (but it’s perfectly ine if you

(n q) − (n p)   =    1 − (2, 2, 1) (1, 2, 1) = 1 − (2 + 4 + 1) = −6 and |n|  =    |(2, 2, 1)| = ^22 + 22 + 12  = ^9 = 3

So the distance between P(1, 2, 1) and the plane 2x + 2y + z = 1 is

|n (q − p)|   |1 − (n p)|   | − 6|   6

14.    [1 mark ]  Which one of the following lines is perpendicular to the line whose equation is shown below?

(x,y,z) = (1, −2, 4) + t(1, −2, 2)