1.  Consider a household with three people in it, named Alpha, Beta, and Delta.  Delta has just fallen ill with a respiratory infection, so the whole household is asked to self-isolate together until no-one is ill any longer. Let Xn  be the number of ill people in the household at the beginning of the nth  day, with the process starting on day 0, with just Delta being

ill.  On any day, each person is either ill or healthy.  If someone recovers from the illness, they are healthy, but also susceptible to it again, and could catch it again (there is no immunity).  We say that the disease is eliminated in the household as soon as all three members of the household are healthy (that is, no-one is ill with this disease any longer).

Suppose (Xn , n > 0} is modelled as a Markov chain with state space S = (0, 1, 2, 3} and transition probabilities given by

(a)  (2 marks) Draw the transition diagram for this chain.

(b)  (2 marks) What is the probability that Delta recovers from the illness without infecting anyone else in the household?

(c)  (4 marks) What is the probability that at some time before the disease is eliminated, everyone in the household is ill at the same time?

(d)  (4 marks) Let W be the maximum number of people in the household who are ill at any one time, prior to the disease being eliminated. Find the distribution of W , and hence calculate E(W). (Hint:  (b) and (c) should be helpful here.)

(e)  (4 marks) What is the expected time until the disease is eliminated (counting the initial day when Delta becomes ill as day 0)?

(f)  (4 marks) This model makes several modelling assumptions.  Pick two of those as- sumptions, and comment briefly on whether they are likely to hold or not in a realistic setting.

2. Phone calls arrive at my phone as a Poisson process with rate λ = 8 per hour. The times I spend talking to each caller on the phone have a lognormal distribution with mean 5 minutes and standard deviation 4 minutes, independently of other calls and of the call arrival process.  Calls which come in while I am already talking on the phone are placed on hold, in a first-come-first-served queue. There is no limit to the number of callers who may be on hold at any one time.

(a)  (1 mark) Describe this queueing system in A/S/m/n notation.

(b)  (3 marks) Find the steady-state average number of people I am dealing with at any one time (including the person to whom I am speaking as well as any callers on hold).

(c)  (3 marks) Find the steady-state average length of time it takes to make a phone call to me, including both time on hold and time spent speaking.

(d)  (3 marks) Explain what the PASTA property is. Is it applicable to this queue? Why, or why not?