4.  (Dummy) We want to build a regression model for analyzing the school cost function.  In our data set, we have the following variables:

C = annual cost for running the school

S = number of students in the school

R = {0(1) N = {1(0)

if the school is a residential school

if the school is a non-residential school

if the school is a residential school

if the school is a non-residential school

Suppose that we believe that the residential/non-residential feature affects the overhead school cost, and each additional student incurs a constant marginal cost for running the school. Please

select the correct model specification(s):

(a)  C = β 1 + β2 S + β3 R + β4 N + u (incorrect)

(b)  C = β 1 + β2 S + β3 N + u (correct)

(c)  C = β2 S + β3 N + u (incorrect)

(d)  C = β2 S + β3 R + u (incorrect)

(e)  C = β2 S + β3 R + β4 N + u (correct)

5.  (Specification) Please select from below the situation(s) that will cause the OLS estimator of

the linear regression model to be biased in general.

(a)  Relevant variables are omitted.  (correct)

(b)  Redundant regressors are included in the model.  (incorrect)

(c)  There is heteroskedasticity in the disturbance term.  (incorrect)

(d)  There is a measurement error in the dependent variable,  and the measurement error is correlated with the regressors.  (correct)

(e)  There is a measurement error in the dependent variable, and the measurement error is not

correlated with the regressors.  (incorrect)

3 Numerical answer questions (20 points)

Each question is worth 2 points.

1.  (Probability) Suppose X is a random variable indicating the face value when a single unfair dice is thrown. The probability distribution of X is given by

7 − x

Let Y be another random variable given as Y = a + bX . What is the covariance of λX and Y?

Answer:  The covariance of X and Y is

Cov(λX,Y) = Cov(λX,a + bX) = λbCov(X,X) = λbVar(X).

The variance of X can be computed from the the probability distribution of X using the formula

Var(X) = E(X2 ) − [E(X)]2  = − ( )2 ≈ 2.22.

So the covariance of X and Y is 2.22λb.

2.  For two random variables X and Y , we know that X = a + bY .  Suppose Z is a third random variable, and the correlation coefficient between X and Z is ρ . What is the correlation coefficient between Y and Z?

Answer : The correlation coefficient between Y and Z is sgn(b)·ρ .

3.  Consider the  Stata summary statistics  and regression output  (some values  are deliberately removed).

Based on the above information, fill in the following missing values:

• Model df: 4

• Residual df: 269 − 5 = 264

• Total df: 268

4.  (Nonlinear models) Suppose that the logarithm of Y is regressed on the logarithm of X, and the fitted OLS regression is

l—ogY = βˆ1 + βˆ2 log X.

Suppose that we define a new regressor X *  = µX and run OLS regression of log Y on log X * . What is the value of the intercept in the new regression?

Answer:  This is an application of Exercise 4.8 in the textbook.   The intercept in the new regression is βˆ1(*)  = βˆ1 − βˆ2 log µ .

5.  (Nonlinear models) Suppose that the logarithm of Y is regressed on the logarithm of X, and

l—ogY = βˆ1 + βˆ2 log X

and the t ratio of the slope coefficient is λ . Suppose that we define a new regressor X *  = µX and run OLS regression of log Y on log X * .  What is the t ratio of the slope coefficient in the new regression?

Answer: This is an application of Exercise 4.8 in the textbook. The t-ratio of the slope coefficient does not change.

6.  (Nonlinear models) Consider the following regression model

House price = β 1 + β2 Size + β3 Bedrooms + β4 Size · Bedrooms + u.

Suppose the estimated coefficients are all different from zero. We plot

A. the predicted relation between house price and size for 2-bedroom houses, and

B. the predicted relation between house price and size for 3-bedroom houses.

Select from the list:  “Plot A and plot B (do not have/have) the same intercept, and plot A and plot B (do not have/have) the same slope.

7.  (Dummy) Consider a simple OLS regression

EARNINGS = β 1 + β2 F + u

where the dependent variable is hourly earnings (in dollars), and F = 1 if the individual is a female and F = 0 if the individual is a male.

We also know that

• the average hourly earnings for the whole sample is x1 ;

• the average hourly earnings for males is x2 ;

• the average hourly earnings for females is x3 .

Based on the above information, what will the estimate of β1 and β2 be for the above regression? Answer: The estimate of β 1  is x2  and the estimate of β2  is x3 − x2 .

8.  (Specification test) Suppose that we want explain an individual’s educational attainment, mea- sured by the years of schooling S, by the education level of their parents (SM and SF) and the individual’s cognitive ability measured by the scores of tests of arithmetic reasoning, A, word knowledge,  W, and paragraph comprehension, P. In particular, consider the regression model

S = β 1 + β2 SM + β3 SF + β4 A + β5 W + β6 P + u.

To test the hypothesis

H0  : β4  = 2β5      and β4  = 2β6

we fitted the following two regressions using a sample with n individuals and obtained the following results:

= βˆ1 + βˆ2 SM + βˆ3 SF + βˆ4 A + βˆ5 W + βˆ6 P

= 1 + 2 SM + 3 SF + βˆ4 C,    where C = A + W + P.

The RSS was RSSU  for the first regression and RSSR  for the second regression.  What is the value of the F statistic for testing the above null hypothesis?

Answer : The F statistic is

improvement of goodness of fit/extra DF (RSSR − RSSU )/2

remaining RSS/remaining DF                   RSSU /(n − 6)    .

9.  (GQ test) A researcher investigating whether government expenditure tends to crowd out in- vestment uses data of 30 countries to fit the regression

Iˆ = 18.1 − 1.07G + 0.36Y

where I is the investment,  G is the government recurrent expenditure, and Y is GDP. She sorts the observations by increasing size of Y and fits the regression again for the 11 countries with smallest Y  and the  11 countries with the largest Y .   RSS  for these two regressions is RSS1   and  RSS2 ,  respectively.   Suppose she wants to use the  Goldfeld-Quandt test to test H0   :  RSS1   =  RSS2   against  RSS1   < RSS2 , and obtain in her data that RSS1 = R1 and RSS2 = R2 .

Fill the blank:   “The test statistic follows an  F(11 − 3, 11 − 3) distribution under the null hypothesis. The realized test statistic in her sample is .”

Answer : The GQ test statistic is

GQ =

in this case.

10.  (Weighted LS) Suppose the true regression model is

Yi  = β 1 + β2 Xi + ui

and it happens that that variance σu(2)i   of disturbance term for the ith observation is proportional to the value of Xi .   To improve the efficiency of the estimation,  we define a new variable Z = Y/X, and obtain a fitted weighted least squares regression:

i  = βˆ2 + βˆ1

Fill in the blanks:  “The weighted least squares estimator for β 1  is βˆ1 and the weighted least squares estimator for β2  is βˆ2 .

4 Short answer questions (10 points)

1.  (5pt) Suppose we want to test the null hypothesis

H0  : β3  = β5  = 0

for understanding whether X3  and X5  are both redundant in the following multiple regression model

Y = β 1 + β2 X2 + β3 X3 + β4 X4 + β5 X5 + u.

You would like to construct an F test using a sample of 30 observations on Y,X2 ,X3 ,X4 ,X5 . Please

(1) write down explicitly the alternative hypothesis, (1pt)

(2) explain how you would obtain the test statistic, (2pt)

(3) find the critical value of the 5 percent test, (0.5pt)

(4) explain how you would make the testing decision for the 5 percent test, (0.5pt)

(5) explain what you would conclude if the null hypothesis is rejected.  (1pt) Answer :

(1)  The alternative hypothesis is

H1  : β3 0    or    β5 0.

(2) We run following restricted and unrestricted models:

restricted :    Y = β 1 + β2 X2 + β4 X4 + u,

unrestricted :    Y = β 1 + β2 X2 + β3 X3 + β4 X4 + β5 X5 + u.

and obtain the residual sum of squares (RSS) of the two regressions which are denoted, respectively, as RSSR  and RSSU   (1pt).  Since there are 5 parameters in the unrestricted model and there are 2 restrictions to test, the F test statistic is (1pt)

(RSSR - RSSU )/2 (RSSR - RSSU )/2

RSSU /(30 - 5)                RSSU /25        .

(3)  5% critical value of the F(2, 25) distribution is 3.3852.

(4)  To make testing decision, we compare the realized F test statistic with the critical value 3.3852, and reject the null hypothesis if F test statistic is greater than the critical value. Note that it is okay if they use p-value to make testing decision for this part.

(5) If the null hypothesis is rejected, then that means at least one of β3  and β5  is significantly different from zero, and hence X3  and X5  are not both redundant.

2.  (5pt) A researcher has data on output per worker, Y , and capital per worker, K, both measured in thousands of dollars, for 50 firms in textile industry in 2012.  She hypothesises that output per worker depends on capital per worker and perhaps also the technological sophistication of the firm, TECH :

Y = β 1 + β2 K + β3 TECH + u

where u is a disturbance term. She is unable to measure TECH and decides to use expenditure per worker on research and development in 2012, R&D, as a proxy for it. She fits the following regression (standard errors in parentheses):

= 1.02 + 0.32K,        R2  = 0.749

(0 .45)       (0 .04)

= 0.34 + 0.29K + 0.05R&D,        R2  = 0.750.

(0 .61)       (0 .22)            (0 . 15)

The correlation coefficient for K and R&D was 0.92.

Please discuss, respectively, the regression results based on the below two assumptions:

(1)  assuming that Y does depend on both K and TECH. (2.5pt)

(2)  assuming that Y depends only on K .  (2.5pt) Answer :

(1) If Y depends on both K and  TECH, the first specification is subject to omitted variable bias and standard errors are invalid. In specific, the bias of the coefficient of K is

βˆ2 − β2  = β3 · γK, TECH

where

γK, TECH = 对(Ki − K)(TECHi − TECH)

has the same sign as the sample correlation coefficient for K and TECH. Since the correla- tion coefficient for K and R&D, the proxy for TECH, is 0.92, it is likely that the correlation coefficient for K and  TECH  is also positive.  Moreover, since the technological sophisti- cation of the firm  (TECH) should have positive impact on the output per worker  (Y), it is reasonable to assume that β3  is positive.  Therefore, if we assume that β3   > 0 and γK, TECH  > 0, then the bias of βˆ2  is positive, or βˆ2  is upward biased.  That is, the partial effect of K on Y is lower than 0.32, as estimated in the first specification.

If Y depends on both K and TECH, the second specification is correct and the parameter estimates are unbiased. However, all the standard errors are very large, making the param- eter estimates not statistically significant.  A plausible explanation of the large standard errors is that this regression is subject to severe multicollinearlity.

When marking:

• 0.5pt: identifying the omitted variable bias problem in the first specification.

•  1pt:  sensible reasoning of the sources of the omitted variable bias (β3  and γK,TECH) and their signs.

• 0.5pt: the conclusion of upward bias of βˆ2  and that the true partial effect of K on Y is lower than 0.32.

• 0.5pt: mentioning the standard errors in the second regression are very large.

(2) If Y depends only on K, then the first specification is correct, the parameter estimates are unbiased, and the standard errors are valid.  The second specification, on the other hand, includes a redundant variable R&D. The inclusion of this redundant variable gives rise to efficiency loss, while does not affect the unbiasedness of the parameter estimates or the validity of standard errors.  Since the standard errors in both regressions are valid, they can be compared. It is evident that the standard errors in the second regressions are a lot higher, demonstrating the severe efficiency loss.

When marking: