1.    [1 mark]  Which one of the following is not a unit vector?

Solution:  A unit vector is a vector whose magnitude is 1. For the vector ( 13 , 13 , 13), the magnitude is

( 13 , 13 , 13) = 4 (13)2 + ( 13)2 + ( 13)2  = 4 = 439 1

All of the other vectors given as answer choices do have magnitude 1.

2.    [1 mark]  Find a unit vector in the same direction as u = (−3, − 1, 4).

Solution: We know that a unit vector in the same direction as u is obtained by multiplying u by the scalar whose value is one over the magnitude of u. In this case we have

|u| = |(−3, − 1, 4)| = ^(−3)2 + ( − 1)2 + (4)2  = ^9 + 1 + 16 = ^26

which gives a unit vector in the same direction as u as

( ) u = ( 1^26) ( −3, − 1, 4) = ( − 3^26 , − 1^26 , 4^26)

Use the following information for questions 3 to 6.

Let u = (2, 1, 6), v = (0, 1, 1) and w = (3, 0, −3).

3.    [1 mark]  Find u + 2v − 3w.

Solution:  As above, to ind a scalar multiple of a vector, we multiply each component by the scalar. And

to ind a sum or diference of vectors, we add or subtract corresponding components. Therefore we get

u + 2v − 3w = (2, 1, 6) + (0, 2, 2) − (9, 0, −9) = (2 + 0 − 9, 1 + 2 − 0, 6 + 2 − ( −9)) = ( − 7, 3, 17)

4.    [1 mark]  Calculate w (2u).

Solution:  For the dot product of 2 vectors, we sum the products of corresponding components:

w (2u) = (3, 0, −3) (4, 2, 12) = 3(4) + 0(2) + ( −3)(12) = 12 + 0 − 36 = −24

5.    [1 mark]  Find |u − v + w|.

Solution:

u − v + w    =    (2, 1, 6) − (0, 1, 1) + (3, 0, −3) = (2 − 0 + 3, 1 − 1 + 0, 6 − 1 + ( −3)) = (5, 0, 2) so |u − v + w|    =    |(5, 0, 2)| = ^52 + 02 + 22  = ^25 + 0 + 4 = ^29

6.    [1 mark]  Find the volume of the parallelepiped determined by u, v and w.

Solution:  The volume of the parallelepiped determined by u, v and w can be found using the calculation |(u × v) w|. Using your favourite method of inding a cross product you should have got

u × v    =    (2, 1, 6) × (0, 1, 1) = (1 − 6, 0 − 2, 2 − 0) = ( − 5, − 2, 2)

so (u × v) w    =    ( − 5, − 2, 2) (3, 0, −3) = − 15 − 0 − 6 = − 21

which gives Volume   =    |(u × v) w| = | − 21| = 21

7.    [1 mark]  Determine which one of the following vectors is orthogonal to both (2, 0, 1) and ( − 1, 3, 1).

A: (−3, −3, 6)              B: (1, 1, 2)              C: (− 1, 0, 2)              D: (−3, 3, 6)              E: (6, −3, 3)

Solution: We know that the cross product of 2 vectors is orthogonal to both of the vectors, so we can start by calculating the cross product of the two given vectors:

(2, 0, 1) × ( − 1, 3, 1) = (0 − 3, − 1 − 2, 6 − 0) = ( −3, −3, 6)

We do see this vector among the answer choices.

8.    [1 mark]  Find the cosine of the angle between the vectors (1, − 1, 1, 1) and (2, 2, 0, − 1).

Solution:  We know that the cosine of the angle θ between two vectors is given by the dot product of the vectors divided by the product of the magnitudes of the vectors. In this case we get:

(1, − 1, 1, 1) (2, 2, 0, − 1)    =    2 − 2 + 0 − 1 = − 1

with |(1, − 1, 1, 1)|    =    ^12 + ( − 1)2 + 12 + 12  = ^1 + 1 + 1 + 1 = ^4 = 2

and |(2, 2, 0, − 1)|    =    ^22 + 22 + 02 + ( − 1)2  = ^4 + 4 + 0 + 1 = ^9 = 3

=                                                   =         = −

9.    [1 mark]  If u = 2i + 3j − 4k and v = i + j + k, ind u × v.

A: −i − 2j + 5k           B: −i − 6j − k          C: −i + 6j − k           D: 7i + 6j − k           E: 7i − 6j − k

Solution:  Since we have k, we must be in ℜ3 .  We know that i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) and k = (0, 0, 1), and that a vector which is stated as a sum of multiples of these vectors has components given by the

corresponding multipliers.  So we have u = (2, 3, −4) and v = (1, 1, 1).  Therefore the cross product of

(2, 3, −4) × (1, 1, 1) = (3 − ( −4), −4 − 2, 2 − 3) = (7, −6, − 1) = 7i − 6j − k

10.    [1 mark]   Which one of the following lines below?

ℓ :

is parallel to the line ℓ with parametric equations shown

x    =   3 + 2t

y    = −t

z    =    2 + 5t

Solution:  The line ℓ is parallel to the vector whose components are the multipliers on t in the parametric

equations, in this case the vector (2, − 1, 5).  The answer choices are all point-parallel form equations of

being a vector which is collinear with  (2 , − 1 , 5), i.e.  u must be a scalar multiple of (2 , − 1 , 5)  (where of

course the scalar multiplier could be  1, but we don’t see an equation that has  (2 , − 1 , 5) being multiplied

by the parameter).  We see that (4 , − 2 , 10) = 2(2 , − 1 , 5), so this is another vector which is parallel to line

11.    [1 mark]  Which of the following is a two-point form equation of the line through the points (2, 2, 0, 1) and (1, −6, 3, − 1)?

Solution:  A two-point form equation of the line through points P and Q has the form x = (1 − t)p + tq.

Considering the points as P(2 , 2 , 0 , 1) and Q(1 , −6 , 3 , − 1) we see that the one of the answer choices which

(x1 ,x2 ,x3 ,x4 ) = (1 − t)(2, 2, 0, 1) + t(1, −6, 3, − 1)

12.    [1 mark]  Which of the following is a point-normal form equation of the plane through the point (1, 3, 4) with normal vector (1, 0, 5)?