Exam Duration:  2 hrs + 10 mins reading time;  15 mins will be allocated to upload handwritten elements into Canvas (add link to assignment dropbox).

Exam Conditions: Open book.

Detailed Instructions:

1.  This exam has 4 questions, together with one student declaration statement. You should attempt all questions and follow the instructions for each question carefully.

2.  Please review the Student Charter and respond. Responding YES to the dec- laration means that you undertake the exam in the prescribed exam conditions with no assistance from a third party or the use of prohibited resources.

3. This exam must be taken on a computer or laptop with satisfactory internet connectivity. It should NOT be taken on a mobile device.

4.  All electronic devices and reference material besides those permitted must be removed from the exam environment.

5.  Compatible web browsers include updated versions of Mozilla Firefox or Google Chrome. Any other browser may not display questions correctly.

6.  Please be mindful we may access logs of your Canvas activity in the event of any discrepancy or concerns regarding breaches of integrity.

7. The content of this exam is not to be shared or distributed in any form.

1.  (12  marks.   Upload your  handwritten answers and short justifications.

Short justifications are worth half of the marks.)

Consider a Markov chain {Xn }n>0  having the following transition diagram:

diagram-01.pdf

For this chain, there are two recurrent classes R1  = {6, 7} and R2  = {1, 2, 5}, and one transient class R3  = {3, 4}.

(a) Find the period of state 3.

(b) Find f33  and f22 .

(c)  Starting at state 3, find the probability that the chain is absorbed into R1 .

(d)  Starting at state 3, find the mean absorbation time, i.e., the expected number of steps that the chain is absorbed into R1  or R2 .

3.  (20  marks.   Upload your  handwritten answers and short justifications.

Short justifications are worth half of the marks.)

A Cafe near Uni opens during  10am to 4pm on weekdays.   From  10am  until  12 noon, customers seem to arrive, on the average, at a steadily increasing rate that starts with an initial rate of 4 customers per hour at 10am and reaches a maximum of 20 customers per hour at 12 noon.  From 12 noon until 2pm the rate seems to remain constant at 20 customers per hour.  However, the arrival rate then drops steadily from 2pm until closing time at 4pm at which time it has the rate of 6 customers per hour. It is observed that the customer arriving at any time is female

with probability 1/3.

Denote by Nt  the number of customers arriving at the Cafe by time t (hours) from 10am on a given weekday and suppose that {Nt }t>0  is a nonhomogeneous Possion

process with rate function λ(t).

(a) Find λ(t), 0 ≤ t ≤ 6.

(b)  Suppose that each customer spends A$10 on average.  Find the average income of the Cafe on a given weekday.

(c)  Find the probability that no female customers arrive between 10am and 11am.

(d) Find the probability that there are two female customers only that arrive be-tween 10am and 11am.

(e)  Suppose that there are 30 customers arriving from  1pm to  2pm.   Find  the probabilty that there are 12 customers during 1pm to 1:30pm.