1. Recall Taylor’s theorem from Calculus:   “Assume a function f (x) that has k + 1 derivatives in an interval [a, b], or simply, f e Ck+1 [a, b] and x0  e [a, b].  Then, for every x e [a, b], 3 ξ between x0  and x such that

f (x) =   k      (x - x0 )n +  (x - x0 )k+1 ,

↗←

(1)

where Pk (x) is called the kth Taylor polynomial for f around x0  and Rk (x) is called the remainder, or truncation error. Note that

lim Pk (x)

→女

gives the Taylor series for the same function f about x = x0  and also a function f is analytic in (a, b) if the Taylor series equals f for all x e (a, b). Finally, the Taylor series around x = x0  三 0 is called MacLaurin series.

(a)  (8 points) Find P1 (x), P2 (x) and P3 (x) around x0  = 0 if f (x) = x2  - 4x + 3. How P3 (x) is related to f (x)?

(b)  (7 points) Same as part (a) but consider x0  = 1.

(c)  (5 points) Given a polynomial f (x) with degree m, what can you say about f (x) - Pk (x) for k > m?

2.  (15 points)  Given the function f (x) = cos x, find both P2 (x) and P3 (x) about x0  = 0, and use them to approximate cos (0.1).  Show that in each case the remainder term provides an upper bound for the true (absolute) error.

3.  Consider the function f (x) = ex .

(a)  (10 points) Find the MacLaurin series of the function f (x) = e , ix .e., the Taylor series about x0  = 0 (write separately Pk (x) and Rk (x)),

(b)  (10 points) Find a minimum value of k necessary for Pk (x) to approximate f (x) to within 10亿6  on the interval [0, 0.5] (here, you must use the remainder term).

4.  (5 points) Let f (x) = ex  and the remainder of it is 5th- degree Taylor series about x0  = 0 is given by

R5 (x) = eξ ,

for x e [-  , ], where ξ is between x and 0, find an upper bound for |R|, valid for

5.  (10 points) Use Taylor’s Theorem to show that

(1 + x)亿1  = 1 - x + x2 + 0(x3 )

for x sufficiently small.

6.  (10 points) Use Taylor expansions for f (x 土 h) to derive an 0(h2 ) accurate approxi- mation to the second derivative f\\ (x) using f (x) and f (x土h). Provide all the details of the error estimate.

7. MATLAB

(a)  (10 points) Using the m-file taylor q3.m, plot the function f (x) = ex  and its Taylor polynomials about x0  = 0, p2 , p4  and p6 .  Run the script and show the graphs.

(b)  (10 points) Modify the m-file abs errors.m with initial step-size h = 0.15 and N = 10, provide the absolute errors and graph.