This document describes one of the available topics for the MSc project in Financial Mathematics. It should be read in conjunction with the overall FM50 Financial Maths Project guide

Background

Fractional  Brownian  motion  (fBM) is a natural generalization of standard Brownian motion.   Since the seminal articles  [GJR18],[BFG16], there has been a large body of work supporting the premise that squared volatility or its logarithm follow a rough process like fBM. Rough models produce more realistic behaviour for implied volatility at small maturities, and are broadly consistent with statistical evidence from financial time series, and rough volatility arises naturally as a small-jump large-frequency limit of certain high frequency trading (HFT) models driven by a self-exciting Poisson-type process, see e.g. [GKR19] and FM14 notes. However, since volatility is not directly observable, estimating the parameters for such models is a challenging and interesting problem (see e.g. [CD22],[AJ14],[BCPV22], and references below).  In this project you will learn how to simulate such models and how to fit the model parameters to real financial data.

A continuous-time process X is said to be Gaussian if for any t1  < ... < tn , Xt1 , ..., Xtn    has a multi- variate Normal distribution.  A zero-mean Gaussian process Bt(H)  is called standard fractional Brownian motion with Hurst exponent H e (0, 1) if it has covariance function

RH (s, t)   =   E(Bt(H)B s(H)) - E(Bt(H))E(Bs(H))   =   E(Bt(H)B s(H))   =     (ItI2H  + IsI2H  - It - sI2H )          (1)

(note BH   can be defined for t  e R or just t  e  [0, o)).   We can easily check that RH (s, t) simplifies to min(s, t) when H = , so BH  is standard Brownian motion in this case (see FM02). For H   , BH  is not a martingale or a Markov process. When H e (0, ), BH  is rougher than standard BM, and when H e (  , 1), BH  is smoother than standard BM; more specifically IBt(H) - B s(H) I < c1 (ω)It - sIH —ε  a.s. for any ε > 0, where c1 (ω) is a (in general random) constant depending on BH  itself.  In order to specify the distribution of a Gaussian process, we only need to specify its mean and covariance function.

We now briefly state some fundamental properties of fBM:

● fBM is continuous a.s. and self-similar, i.e. for a > 0, (Bat(H))t≥0  aH (Bt(H))t≥0 . For H   , BH  does not have independent increments.

● There exists a function K(s, t) such that BH   can be realized as B KH (s, t)dBs  where B  is standard Brownian motion, and KH (s, t) ~ const.(t - s)H —   as s 入 t, so K blows up as s 入 t when H e (0,  ).

● Xn  = Bn(H) - Bn—(H)1  is a discrete-time Gaussian process with Xk  ~ N (0, 1) for all k (but the Xk ’s are not independent of each other) for which we can easily compute the autocovariance ρn  := E(Xk+nXk ) (ρn  is independent of k).

More background on fBM is given in the FM14 lecture notes on KEATS.

Part 1: Literature review

Write a literature review about fractional Brownian motion and other Gaussian/non-Gaussian rough processes in the context of volatility modelling (see list of ideas for Part 3 below for further background), focusing on e.g.   statistical aspects of time series and parameter estimation and option pricing/calibration under such models  (see e.g.   FM14 lecture notes,  [GJR18] and section 7.2 in  [ST02] for further background on fBM), and discussion of important features of financial time series such as volatility clustering, fat tails, leverage/Zumbach effects, stationarity, multifractality etc.  (some of the properties are discussed in FM05 and FM17).

Part 2: Numerical computations

● Using the self-similiarity of fBM discussed above and setting ∆ = T/n, derive a simple formula for E(     IB - B — 1)∆ Iq ) on [0, T] for q > 0 in terms of Kq  = E(IZIq ), where Z ~ N (0, 1) (you do not need to compute Kq  explicitly), and use this to derive an estimator Hˆn  for H . Is Hˆn  biased?

● Simulate a fractional Brownian motion path BH  with n = 1024 equidistant time steps on  [0, 1] for H  e {.05, 0.50, 0.90}, using the Cholesky decomposition  (see e.g.   FM06 for details) and plot your results.  Open the file fBMpath2.txt which contains a sample path of an fBM on  [0 , 1] at n = 1024 equidistant time points on [0, 1] multiplied by an unknown constant ν .  Numerically compute a max- imum likelihood estimate (MLE) for the ν and H-value for this path by minimizing the log joint likelihood function of (Yt1 , ..., Ytn ),  using e.g.   fmin in MATLAB or  scipy .optimize .minimize  in Python. The reference [Cha14] may help you with this task.

● The text files BHpath.05.txt and Bpath.05.txt contains a sample path of an fBM BH  for H = .05 and a standard Brownian motion B at n = 16384 equidistant time points on [0, 1], generated using the same i.i.d. Normals, and the file Wpath.05.txt contains an additional independent Brownian motion W . Use this data to simulate a sample path over [0, 1] with the same step size for the stock price S and its instantaneous variance process V for the following rough fractional stochastic volatility (RFSV) model (introduced in [GJR18]) under the physical probability measure P:

dSt      =   St ^Vt (ρdBt + ρ¯dWt )

Vt      =   V0 eνBt(H)                                                                                                                                                                    (2)

where ρ¯ = ^1 - ρ2 , with (fixed) remaining model parameters S0  = 1, ν = 1, ρ = -.65, V0  = 0.1. Using subwindows of size m = 16, 32, 64, estimate the spot variance Vt  at n/m equidistant time steps using sums of squares of m log returns, and use this to estimate H each of these three m-values. Re-do this procedure by replacing these three files with BHpath.10.txt, Bpath.10.txt and Wpath.10.txt, where the true H-value has now changed to .10. List your results for Hˆ in a table of the following form:

For H =  you do not need to simulate BH  so the procedure is much quicker. For this case, compute Hˆ 100 times independently using your own W and B paths on [0, 1] with 65536 points, and compute the sample mean and standard deviation of Hˆ with m = 512. Based on your answers, compute a (two- sided) 95% confidence interval for Hˆ , state the bias of Hˆ and interpret your result. Confidence interval is Hˆ = .38 土 1.96   = .38 土 .01, so bias is .38 - .5 = -.12, so rough volatility is an artefact here.

Using Monte Carlo with antithetic variables (see FM06), tabulate and plot the implied volatility smile for the model in (2) (assuming that the risk neutral measure Q = P) with H = 0.1, ν = 1, V0  = .04, ρ = -.65, with log-moneyness x = log  ranging from -0.5 to 0.5. What does the shape of the smile tell you?

● Assuming the model in (2) holds, estimate ν and H using the column of estimated daily Vt  values in the file SPX3yrDailyRealizedVariance1minBins.txt, which has been computed from sums of squares of 1min SPX log returns from 2nd Feb 2020 to 24th Feb 2023, and re-estimate these parameters just using the final year of data (251 trading days).

Part 3:  Original contribution

In this section you are expected to conduct further research on a topic/problem of your choosing, which is typically an extension or variant of Part 2.  Part 3 should contain your own numerical results and code, and the topic should be discussed with your supervisor.  Below we list some potentially interesting ideas to explore.

● Test/devise other parametric or non-parametric estimators of H, e.g.  the estimator in the first task of Part 2 (or estimators in [KMR17],[HS21],[CD22] or use of log-log plots as in [GJR18]), and discuss whether these estimators are e.g.   consistent, biased,  asymptotically Normal and/or have high/low sample variance, and how to construct a confidence interval for H from Hˆ .

● Look into high frequency trading (HFT) models e.g.   models driven by a Hawkes process and their diffusive limit, which is a Poisson-type process whose intensity depends on the history of the process via a history term, see e.g. FM14 notes and [GKR19].

● Adapt the stochastic volatility model in Part 2 to a two-factor rough model driven by two (possibly correlated) fBMs so Vt  is no longer log-normal, or an OU process driven by an fBM.

● Investigate pricing of European options on rough processes or under rough models with transaction costs using exponential indifference pricing with HJB eqs or RNNs/LSTMs in Python to learn the trading strategy which maximizes exponential utility, or e.g. predict cryptocurrency returns.

References

[AJ14]  A¨ıt-Sahalia, Y. and J.Jacod, “High-Frequency Financial Econometrics”, Princeton University Press

[AIL22]  Abi-Jaber, E.,  C.Illand and X.Li,  “The quintic Ornstein-Uhlenbeck volatility model that jointly calibrates SPX&VIX smiles”, preprint, 2022.

[BFG16]  Bayer, C., P.K.Friz, and J. Gatheral, “Pricing under rough volatility”, Quantitative Finance,16(6), pp. 887–904, 2016.

[BCPV22]  Bolko, A.E., K.Christensen, M.S.Pakkanen and B.Veliyev,  “A GMM approach to estimate the roughness of stochastic volatility”, Journal of Econometrics, to appear.

[BBDG18]  Bouchaud, J-P, J.Bonart, J.Donier, and M.Gould, “Trades, Quotes and Prices: Financial Markets Under the Microscope”, 2018, Cambridge University Press

[BDB17]  P. Blanc, J.Donier & J.-P.Bouchaud, “Quadratic Hawkes processes for financial prices”, Quantita- tive Finance, 17(2), 2017

[CB14]  R.Chicheportiche& J-P.Bouchaud, “The fine-structure of volatility feedback”, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, Volume 410, 15 September 2014, Pages 174-195

[Cha14]  Chang, Y-C., “Efficiently Implementing the Maximum Likelihood Estimator for Hurst Exponent”, Mathematical Problems in Engineering, vol. 2014

[CD22]  Cont, R. and P.Das, “Rough Volatility: Fact or Artefact?”, preprint, 2022

[GR20]  Gatheral, J., P.Jusselin and M.Rosenbaum, “The quadratic rough Heston model and the joint S&P 500/VIX smile calibration problem”, risk .net, 2020

[GJR18]  Gatheral, J., T.Jaisson and M.Rosenbaum, “Volatility is rough”, Quantitative Finance, 18(6), 2018

[GKR19]  Gatheral, J. and M.Keller-Ressel, “Affine forward variance models”, Finance and Stochastics, vol- ume 23, pages 501-533, 2019

[GL22]  Guyon, J. and J.Lekeufack, “Volatility is (mostly) path-dependent”, preprint, 2022

[HS21]  Han, X. and A.Schied, “The Hurst roughness exponent and its model-free estimation”, preprint, 2021

[KMR17]  Kubilius, K., Y.Mishura, and K.Ralchenko, “Parameter estimation in fractional diffusion models”, volume 8. Springer, 2017.